a) Xét 2 tam giác vuông $\Delta AHB$ và $\Delta AHC$ có:

$AB=AC$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh A)

$\widehat{ABH}=\widehat{ACH}$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh A)

$\Rightarrow\Delta AHB=\Delta AHC$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$\Rightarrow BH=CH$ (hai cạnh tương ứng)

b) Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta$ vuông $ABH$ có:

$AB^2=AH^2+BH^2$, $BH=CH=\dfrac{BC}2=3$cm

$\Rightarrow AH^2=AB^2-BH^2=16\Rightarrow AH=4$cm

c) Do $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $\dfrac{AG}{AH}=\dfrac23$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

$\Rightarrow\dfrac{AG}{AH-AG}=\dfrac{2}{3-2}$

$\Rightarrow\dfrac{AG}{GH}=2\Rightarrow \dfrac{GD}{GH}=2$

$\Rightarrow GH=DH$

Xét $\Delta GHC$ và $\Delta DHB$ có:

$GH=DH$ (chứng minh trên)

$\widehat{GHC}=\widehat{DHB}=90^o$ (đối đỉnh)

$HC=HB$ (giả thiết)

$\Rightarrow\Delta GHC=\Delta DHB$ (c.g.c)

$\Rightarrow CG=BD$

mà $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên $\dfrac{CG}{CF}=\dfrac23$

$\Rightarrow \dfrac{BD}{CF}=\dfrac23$

$\Rightarrow BD=\dfrac23CF$

Ta có: CG giao AB tại F nên F là trung điểm của $AB$ nên $BF=\dfrac{AB}2=2,5$

$BD=CG$ $(\Delta GHC\bot H\text{ có }CG^2=HG^2+HC^2=\left({\dfrac43}\right)^2+3^2)\Rightarrow CG\approx3,2829$

$\Rightarrow BD>BF$

d) Ta có: $DB+DG=GC+AG>AC=AB$ (bất đẳng thức tam giác áp dụng vào $\Delta AGC$)