a,

Xét `\triangleAIB` và `\triangleAIC` , ta có :

`AB = AC` ( `\triangleABC` cân tại `A`)

`IB = IC` ( `I` trung điểm `BC`)

`AI` cạnh chung

`=>` `\triangleAIB` = `\triangleAIC`

`=>` $\widehat{AIB}$ = $\widehat{AIC}$ ( hai góc tương ứng)

Ta có :  $\widehat{AIB}$ + $\widehat{AIC}$ = $180^o$

`=>` $\widehat{AIB}$ = $\widehat{AIC}$ = $90^o$

 `=> AI \bot BC`

b,

Ta có :

`IB + IC = BC`

`IB + IC = 18`

Mà `IB = IC` 

`=> IB = IC = 9`

Xét `\triangleAIB` vuông tại `I` , ta có :

`AI^2 + IB^2 = AB^2` ( Đlí pytago)

`AI^2 + 9^2 = 15^2`

`AI^2 + 81 = 225`

`AI ^2 = 225 - 81`

`AI^2 = 144`

`AI ^2 = 12^2`

`=> AI = 12 (cm)`

c,

Vì `\triangleAIB` = `\triangleAIC`

`=>` $\widehat{BAI}$ = $\widehat{CAI}$ ( hai góc tương ứng)

`=>` $\widehat{BAD}$ = $\widehat{CAD}$ 

Xét `\triangleBAD` và `\triangleCAD` , ta có :

`AB = AC` ( `\triangleABC` cân tại `A`)

$\widehat{BAD}$ = $\widehat{CAD}$  (cmt)

`AD` cạnh chung

`=>` `\triangleBAD` = `\triangleCAD` `(c.g.c)`

`=> BD = DC` ( hai cạnh tương ứng)

`=>` `\triangleBCD` cân tại `D`

@UCKSWT

Đáp án+Giải thích các bước giải:

a) $\triangle$ ABC cân tại A:

=> AB =AC

=> $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$

Xét $\triangle$ ABI và $\triangle$ ACI có:

AB = AC( cmt)

$\widehat{B}$ = $\widehat{C}$( cmt)

AI:  cạnh chung

=> $\triangle$ ABI = $\triangle$ ACI( cạnh - góc - cạnh)

=> $\widehat{ABI}$ = $\widehat{ACI}$( 2 cạnh tương ứng)

=> $\widehat{ABI}$ + $\widehat{ACI}$ = $180^o$( kè bù)

=> $\widehat{ABI}$ = $\widehat{ACI}$ =  $\dfrac{180^o}{2}$ = $90^o$

=> AI $\bot$ BC

b) Ta có $\triangle$ ABI = $\triangle$ ACI( cmt)

=> BI = BC( 2 cạnh tương ứng)

=> BI = BC = $\dfrac{18}{2}$ = 9

Xét $\triangle$ ABI vuông tại I có:

BA² = IB² + IA²( định lí Py - ta - go)

15² = 9² + IA²

225 = 81 + IA²

225 - 81 = IA²

144 = IA²

IA = $\sqrt{144}$

Vậy IA = 12

c) Vì $\triangle$ ABI = $\triangle$ ACI( cmt)

=> $\widehat{BAD}$ = $\widehat{CAD}$( 2 cạnh tương ứng)

Xét $\triangle$ BAD và $\triangle$ CAD có: 

AD: cạnh chung

AB = AC( cmt)

$\widehat{BAD}$ = $\widehat{CAD}$( cmt)

=> $\triangle$ BAD = $\triangle$ CAD( cạnh - góc - cạnh)

=> BD = CD( 2 cạnh tương ứng)

=> $\triangle$ BAD là $\triangle$ cân tại $D$