Tự vẽ hình nhé!

a) Vì $\left. \begin{array}{l} AD \bot xy\\ BC \bot xy \end{array} \right\} \Rightarrow AD//BC$

Xét hình thang ABCD:

$AO = OB$

$OM//AD//BC$ (vì cùng vuông góc $xy$)

$⇒$ OM là đường trung bình hình thang ABCD

$⇒$ M là trung điểm DC $(MC = MD)$

b) Vì OM là đường trung bình hình thang ABCD có 2 đáy AD và BC:

$OM = \dfrac{{AD + BC}}{2} \Leftrightarrow 2OM = AD + BC \Rightarrow 2R = AD + BC$

Vậy $AD+BC$ không đổi khi M thay đổi

c) Đường tròn đường kính CD nên tâm là M

Ta có: $MD \bot AD$ $⇒$ AD là tiếp tuyến đường tròn đường kính DC

          $MC \bot BC$ $⇒$ BC là tiếp tuyến đường tròn đường kính DC

Hạ $MH \bot AB$

Xét tam giác ABM vuông tại M: $\widehat {ABM} + \widehat {MAB} = {90^o}\left( 1 \right)$

Xét tam giấc AMH vuông tại H: $\widehat {HAM} + \widehat {AMH} = {90^o}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2): $\widehat {AMH} = \widehat {ABM}$

Vì DM là tiếp tuyến (O) $⇒$ $\widehat {ABM} + \widehat {DMA}$

$⇒$ $\widehat {AMH} = \widehat {DMA}$

Xét tam giác ADM vuông tại D, tam giác AMH vuông tại H.

$\left. \begin{array}{l} \widehat {AMH} = \widehat {DMA}\\ AM:chung \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ADM = \Delta AHM\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow MD = MH$

$⇒$ AB tiếp xúc đường tròn đường kính CD.

d) Hạ $AK \bot BC$

ADKC là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông) $⇒$ $DC=AK$ và $CD//AK$

Xét tam giác AKB vuông tại K: $AK \le AB$ (vì AB là cạnh huyền) 

Dấu $"="$ xảy ra khi $K \equiv B$ 

Mà $CD=AK$ $⇒$ $CD \le AB$ 

Diện tích ABCD: $S = \dfrac{{\left( {AD + BC} \right).DC}}{2} = \dfrac{{2R.DC}}{2} \le \dfrac{{2R.AB}}{2} = 2{R^2}$

$ \Rightarrow {S_{\max }} = 2{R^2} \Leftrightarrow K \equiv B{\rm{ }}hay\left\{ \begin{array}{l} CD//BA\\ CD = BA \end{array} \right.$ 

$⇒$ ABCD là hình chữ nhật

$⇒$ $OM \bot AB$$⇒$ M là điểm chính giữa cung AB