Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a, ΔABC vuông tại A, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

AB² + AC² = BC²

⇔ 62 + 82 = BC²

⇔ 102 = BC²

⇒ BC = 10cm

ΔABC có BD là phân giác, áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

AD/AB = DC/BC

⇔ AD/6= DC/10

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

AD/6 = DC/10 = AD + DC /6 + 10 = AC / 16= 8/16=1/2

⇒ AD = 1/2.6 = 3cm

    DC = 1/2.10 = 5cm

b, Xét ΔBIH và ΔBDA có:

ˆIBH=ˆDBA (do BD là phân giác); ˆBHI=ˆBAD=90o

⇒ ΔBIH ~ ΔBDA (g.g)

⇒ BI/DB = HB/AB

⇒ AB.BI=BD.HB (đpcm)

c, ΔBIH ~ ΔBDA (g.g) ⇒ ˆBIH=ˆBDA

mà ˆBIH=ˆAID (đối đỉnh)

⇒ ˆAID=ˆBDA

⇒ ΔAID cân tại A (đpcm)

+ TH1: Xét ΔABC vuông tại A có các đường cao AD, BA, CA.

BA, CA là hai đường cao xuất phát từ hai góc nhọn B và C của ΔABC.

AB = AC ⇒ ΔABC cân tại A (đpcm).

+ TH2: Xét ΔABC không có góc nào vuông, hai đường cao BD = CE (như hình vẽ minh họa)

Xét hai tam giác vuông EBC và DCB có :

BC (cạnh chung)

CE = BD (giả thiết)

⇒ ∆EBC = ∆DCB (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

+ Xét ΔABC ba đường cao BD = CE = AF (như hình vẽ minh họa)

CE = BD ⇒ ΔABC cân tại A (như cmt) ⇒ AB = AC.

CE = AF ⇒ ΔABC cân tại B (như cmt) ⇒ AB = BC:

⇒ AB = AC = BC

⇒ ΔABC đều.