Giải thích các bước giải:

 a, Vì dây cung BC vuông góc với đường kính AD của (O; R) tại M ⇒ MB = MC

hay M là trung điểm của BC (1)

E là điểm đối xứng với A qua M ⇒ MA = ME hay M là trung điểm của AE (2)

Từ (1), (2) suy ra ACEB là hình bình hành mà BC ⊥ AE ⇒ ACEB là hình thoi.

b, ACEB là hình thoi ⇒ $\widehat{B1}$ = $\widehat{B2}$ = $\widehat{C1}$

$\widehat{E1}$ là góc ngoài tại E của ΔBEK ⇒ $\widehat{E1}$ = $\widehat{B1}$ + $\widehat{C1}$ = 2. $\widehat{B1}$ (3)

ΔBAD nội tiếp đường tròn đường kính AD ⇒ $\widehat{ABD}$ = $90^{o}$

⇒ $\widehat{B1}$ + $\widehat{B2}$ + $\widehat{B3}$ = $90^{o}$

⇒ 2. $\widehat{B1}$ + $\widehat{B3}$ = $90^{o}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra: $\widehat{E1}$ + $\widehat{B3}$ = $90^{o}$

⇒ $\widehat{DKE}$ = $90^{o}$ ⇒ K nằm trên đường tròn đường kính ED (đpcm)

c, Ta có: DM = AD - AM = 2R - $\frac{2R}{3}$ = $\frac{4R}{3}$ 

ΔDBA vuông tại B có BM là đường cao, áp dụng hệ thức lượng ta có:

$BD^{2}$ = DM.AD = $\frac{4R}{3}$. 2R = $\frac{8}{3}$$R^{2}$

⇒ BD = $\frac{2R\sqrt[]{6}}{3}$