Đáp án: $C. \frac{11a²\sqrt[]{51}}{160}$

Giải thích các bước giải:

Cách dựng $(P)$ như sau : Vẽ $IJ⊥SB$ tại $J$. Dễ thấy $BC⊥(SAB) ⇒ (SBC)⊥(SAB) ⇒ IJ⊥(SBC)$

Tia $DI$ cắt tia $CB$ tại $E$. Tia $EJ$ cắt $SC$ tại $K ⇒ DIJK$ là thiết diện cần dựng

Ta có $: EI² = DI² = \frac{5a²}{4} ⇒ EI = \frac{a\sqrt[]{5}}{2}$ 

$ΔSIJ$ là nửa tam giác đều cạnh $SI = \frac{a\sqrt[]{3}}{2} ⇒ IJ = \frac{a\sqrt[]{3}}{4}$

$IJ⊥(SBC) ⇒ IJ⊥EJ ⇒ ΔEIJ$ vuông tại $J$

$ ⇒ EJ² = EI² - IJ² = \frac{5a²}{4} - \frac{3a²}{16} = \frac{17a²}{16} ⇒ EJ = \frac{a\sqrt[]{17}}{4} $

Đặt : $SK = x; JK = y < a$. Dễ thấy $ΔSCE$ vuông cân tại $S$

$⇒SJ$ là tia phân giác góc$ESK$ của $ΔSEK$ theo t/c phân giác:

$ ⇒ \frac{x}{y} = \frac{SK}{JK} =\frac{SE}{EJ} ⇒ \frac{x²}{y²} = \frac{SE²}{EJ²} = \frac{2a²}{\frac{17a²}{16}} = \frac{32}{17} ⇒ x² = \frac{32y²}{17}$

$SE² + SK² = EK² = (EJ + JK)² ⇔ 2a² + x² = (\frac{a\sqrt[]{17}}{4} + y)² ⇔ 2a² + \frac{32y²}{17} = \frac{17a²}{16} + 2(\frac{a\sqrt[]{17}}{4})y + y² $

$ ⇔ \frac{15}{17}y² - (\frac{a\sqrt[]{17}}{2})y + \frac{15}{16}a² = 0$

Giải ra : $y = \frac{3a\sqrt[]{17}}{20}$ ( loại nghiệm $y = \frac{5a\sqrt[]{17}}{12} > a)$

$ ⇒ EK = EJ + JK = \frac{a\sqrt[]{17}}{4} + \frac{3a\sqrt[]{17}}{20} = \frac{2a\sqrt[]{17}}{5}$

$S(EIJ) = (\frac{1}{2})IJ.EJ = \frac{1}{2}.\frac{a\sqrt[]{3}}{4}. \frac{a\sqrt[]{17}}{4} = \frac{a²\sqrt[]{51}}{32}$

$S(EDK) = 2S(EIK) = EK.IJ = (\frac{2a\sqrt[]{17}}{5}).(\frac{a\sqrt[]{3}}{4}) = \frac{a²\sqrt[]{51}}{10}$

$S(DIJK) = S(EDK) - S(EIJ) = \frac{a²\sqrt[]{51}}{10} - \frac{a²\sqrt[]{51}}{32} = \frac{11a²\sqrt[]{51}}{160}$