Giải thích các bước giải:

 a) Vì C thuộc đường tròn (O) có AB là đường kính

=> $\angle ACB = 90^\circ $

=> $AC \bot CB$  (1)

Vì AM, MC là tiếp tuyến tại A và C của (O)

=> $MO \bot AC$  (2) và MA=MC  (5)

Vì CN, BN là tiếp tuyến tại C và B của (O)

=> $NO \bot CB$  (3) và ON là phân giác góc COB và CN=NB  (6)

Từ (1), (2), (3)=> $MO \bot ON$  (4)

Từ (4), (2)=> AC//ON

Gọi CD cắt AO tại K là trung điểm của AO(gt)

=> K thuộc trung trực của AO

=> CK là trung trực của AO(do $CK \bot AO$)

=> C thuộc trung trực AO

=> CA=CO

Xét tam giác ABC có: góc ACB=90 độ, O là trung điểm AB

=> CO=OA=BO=1/2AB

=> AC=CO=AO=> tam giác BAC đều

=> góc COA=60 độ=> góc COB=180-60=120 độ

Vì ON là phân giác góc COB=> góc CON=1/2COB=60 độ

Vì AB là dây cung vuông góc đường kinh AB

=> AB là trung trực của CO

=> góc COA=1/2COD

=> góc COD=120 độ

=> góc COD+CON=180 độ=DON

=> D, O, N thẳng hàng

=> AC//DN(đpcm)

b) Vì MN là tiếp tuyến của (O)

=> $CO \bot MN$

=> $\eqalign{   & \angle OCN = 90^\circ   \cr    &  =  > \,\angle CON + \angle CNO = 90^\circ  \cr} $

Vì $\angle MON = 90^\circ $

=> $\angle MOC + \angle CON = 90^\circ $

=> $\angle MOC = \angle CNO$

Xét $\vartriangle MCO$ và $\vartriangle OCN$ có:

$\eqalign{   & \angle MCO = \angle OCN = 90^\circ   \cr    & \angle MOC = \angle CNO = 90^\circ  \cr} $

=> $\vartriangle MCO \sim \vartriangle OCN$

=> $\frac{{MC}}{{CO}} = \frac{{CO}}{{CN}}$  (7)

Từ (5), (6), (7)=> $\frac{{MA}}{{CO}} = \frac{{CO}}{{NB}}$

=> MA.NB=$C{O^2}$

Vì CO=1/2AB

=> $C{O^2} = \frac{1}{4}A{B^2}$

=> 4MA.NB=$A{B^2}$  (đpcm)

c) AB=6cm=> AO=1/2AB=3cm=CO=CO=DO=AC

Xét tam giác CON có: góc OCN=90 độ, góc CON=60 độ

=> CO=1/2ON

=> ON=12cm

=> DN=DO+ON=18cm

Gọi MO cắt AC tại L

=> L là chân đường cao kẻ từ C của tam giác CAO

=> LO=$\frac{{\sqrt 3 }}{2}AC$=${3\sqrt 3 }$

$S{_{ACND}} = \frac{{(AC + DN).LO}}{2} = \frac{{24.3\sqrt 3 }}{2} = 36\sqrt 3 $