Đáp án:

\[C\]

Giải thích các bước giải:

SH là đường cao của khối chóp S.ABCD nên góc tạo bởi SD với mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SD và DH

Suy ra  \(\widehat {SDH} = 45^\circ \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AD = 2a\\
HD = 3HA
\end{array} \right. \Rightarrow HD = \frac{3}{4}AD = \frac{{3a}}{2}\\
SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HD\\
\widehat {SDH} = 45^\circ  \Rightarrow SH = HD = \frac{{3a}}{2}
\end{array}\)

Qua C kẻ \(CK \bot AD\)

ABCD là hình thang cân nên ta có:

\[\begin{array}{l}
KD = \frac{{AD - BC}}{2} = \frac{a}{2}\\
K{D^2} + K{C^2} = C{D^2}\\
 \Leftrightarrow K{C^2} = C{D^2} - K{D^2}\\
 \Leftrightarrow KC = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\\
 \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}KC.\left( {AD + BC} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 a}}{2}.3a = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}
\end{array}\]

Do đó thể tích của khối chóp đã cho là:

\[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{3a}}{2}.\frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4} = \frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{8}\]