Mình sửa lại 42 thành 12 nhé, đề cho 42 là sai rồi.

Đáp án:

\(500\,\,c{m^2}\)

Giải thích các bước giải:

Gọi mặt phẳng thiết diện là SAB như hình vẽ.

Gọi H là trung điểm của AB.

Tam giác SAB cân tại S \( \Rightarrow SH \bot AB\).

Lại có \(SO \bot AB\).

\( \Rightarrow AB \bot \left( {SHO} \right)\).

Trong (SHO) kẻ \(OK \bot SH\) ta có:

\(AB \bot \left( {SHO} \right) \Rightarrow AB \bot OK\).

\( \Rightarrow OK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow OK = 12\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHO ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{O{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{H^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{12}^2}}} = \dfrac{1}{{{{20}^2}}} + \dfrac{1}{{O{H^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{225}}\\ \Rightarrow OH = 15\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

H là trung điểm của AB \( \Rightarrow OH \bot AB\).

\( \Rightarrow \Delta OAH\) vuông tại H.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAH ta có:

\(\begin{array}{l}A{H^2} = O{A^2} - O{H^2}\\A{H^2} = {25^2} - {15^2}\\A{H^2} = 400\\AH = 20\,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow AB = 2AH = 40\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

 Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SHO ta có:

\(\begin{array}{l}S{H^2} = S{O^2} + O{H^2}\\S{H^2} = {20^2} + {15^2}\\S{H^2} = 625\\SH = 25\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Vậy \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}SH.AB = \dfrac{1}{2}.25.40 = 500\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).