a) Ta có BNBN và CPCP là đường trung tuyến của ΔABCΔABC

⇒N⇒N và PP lần lượt là trung điểm cạnh ABAB và ACAC

⇒PN⇒PN là đường trung bình ΔABCΔABC

⇒PN∥BC⇒PN∥BC hay PN∥CFPN∥CF

Mà NF∥CPNF∥CP (cách dựng)

⇒CPNF⇒CPNF là hình bình hành (có hai cặp cạnh đối diện song song)

b) Ta có: FD∥BNFD∥BN (cách dựng)

NF∥BDNF∥BD (vì cùng ∥PC∥PC)

⇒BDFN⇒BDFN là hình bình hành (có hai cặp cạnh đối diện song song)

c) Do CPNFCPNF là hình bình hành

⇒NF∥=PC⇒NF∥=PC (1)

Do BDFNBDFN là hình bình hành

⇒NF∥=BD⇒NF∥=BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra PC∥=BDPC∥=BD

⇒BPCD⇒BPCD là hình bình hành

⇒M⇒M là trung điểm của BCBC thì MM cũng là trung điểm của PDPD

⇒P,M,D⇒P,M,D thẳng hàng

Mà PM∥ACPM∥AC (do PMPM là đường trung bình ΔABCΔABC)

⇒PD∥NC⇒PD∥NC

⇒PNCD⇒PNCD là hình thang

d) Ta có PM=ANPM=AN (vì PMPM là đường trung bình ΔABCΔABC, PM=12AC=ANPM=12AC=AN)

mà PM=MDPM=MD

⇒AN=MD⇒AN=MD và An∥MDAn∥MD (vì PD∥NCPD∥NC)

⇒ANDM⇒ANDM là hình bình hành

⇒AM=DN⇒AM=DN (đpcm)

e) Để PNCDPNCD là hình thang cân thì PC=DNPC=DN

⇒PC=AM⇒PC=AM

⇒ΔABC⇒ΔABC cân đỉnh BB.