Giải thích các bước giải:

a.  Xét tam giác ABD có $\widehat {ABD} = \widehat {BAD} = {60^ \circ }$

Suy ra: Tam giác ABD đều

Khi đó: AD = AB = BD = 7 (cm)

Mà BC = 14 (cm) nên DC = BC - BD = 14 - 7 = 7 (cm)

⇒ AD = DC = 7 (cm)

⇔ Tam giác ADC cân tại D.

b. Xét tam giác ABC có: AD = DB = DC = A/2 BC

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

c. Dễ tính được $AC = 7\sqrt 3 $

Kẻ EF vuông góc với AC

Ta có: $\widehat {EAC} = {120^ \circ }$ nên $\widehat {EAF} = {60^ \circ }$

Suy ra: 

${\rm{AF = }}{1 \over 2}EA = {1 \over 2}AH = {1 \over 2}AB.\sin {60^ \circ } = {1 \over 2}.7.{{\sqrt 3 } \over 2} = {{7\sqrt 3 } \over 4}$

${\rm{AF = }}{{\sqrt 3 } \over 2}EA = {{\sqrt 3 } \over 2}AH = {{\sqrt 3 } \over 2}.7.{{\sqrt 3 } \over 2} = {{21} \over 4}$

Vậy, áp dụng định lí Py-ta-go ta được: 

$E{C^2} = E{F^2} + F{C^2} = {\left( {{{21} \over 4}} \right)^2} + {\left( {7\sqrt 3  + {{7\sqrt 3 } \over 4}} \right)^2}$

Lại có: 

$A{C^2} + H{C^2} = {\left( {7\sqrt 3 } \right)^2} + {(HD + DC)^2} = {\left( {7\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {{7 \over 2} + 7} \right)^2}$$

Dễ thấy hai kết quả trên bằng nhau

Vậy ra có điều phải chứng minh.