Đáp án+Giải thích các bước giải:

Các số có chữ số tận cùng là $3, 7, 9$ khi nâng lên lũy thừa bậc $4n (n \in \mathbb{N})$ thì chữ số tận cùng là $1$

$a)57^{1999}\\ =57^{1996+3}\\ =57^{1996}.57^3\\ =57^{1996}.57.57.57$

$1996 \ \vdots \ 4 \Rightarrow 57^{1996}$ có tận cùng là $1$

$\Rightarrow 57^{1996}.57$ có tận cùng là $7$

$\Rightarrow 57^{1996}.57.57$  có tận cùng là $9$

$\Rightarrow 57^{1996}.57.57.57$ có tận cùng là $3$

$\Rightarrow 57^{1999}$ có tận cùng là $3$

$b)93^{1999}\\ =93^{1996+3}\\ =93^{1996}.93^3\\ =93^{1996}.93.93.93$

$1996 \ \vdots \ 4 \Rightarrow 93^{1996}$ có tận cùng là $1$

$\Rightarrow 93^{1996}.93$ có tận cùng là $3$

$\Rightarrow 93^{1996}.93.93$  có tận cùng là $9$

$\Rightarrow 93^{1996}.93.93.93$ có tận cùng là $7$

$\Rightarrow 93^{1999}$ có tận cùng là $7$

$2)\\ A=999993^{1999}-555557^{1997}\\ =999993^{1996+3}-555557^{1996+1}\\ =999993^{1996}.999993.999993.999993-555557^{1996}.555557$

$1996 \ \vdots \ 4 \Rightarrow 999993^{1996}$ có tận cùng là $1 $

$\Rightarrow 999993^{1996}.999993$ có tận cùng là $3$

$\Rightarrow 999993^{1996}.999993.999993$ có tận cùng là $9$

$\Rightarrow 999993^{1996}.999993.999993.999993$ có tận cùng là $7$

$1996 \ \vdots \ 4 \Rightarrow 555557^{1996}$ có tận cùng là $1$

$\Rightarrow 555557^{1996}.555557$ có tận cùng là $7$

$\Rightarrow 999993^{1999}-555557^{1997}$ có tận cùng là $0$

$\Rightarrow 999993^{1999}-555557^{1997}  \ \vdots \ 5$

$3)$

Ta có $17(x+y) \ \vdots \ 17$

$\Leftrightarrow 17x+17y \ \vdots \ 17(1)\\ 2x+3y \ \vdots \ 17\\ \Rightarrow 4(2x+3y) \ \vdots \ 17\\ \Leftrightarrow 8x+12y \ \vdots \ 17 (2)\\ (1)(2) \Rightarrow (17x+17y)-(8x+12y ) \ \vdots \ 17 \\ \Leftrightarrow 9x+5y \ \vdots \ 17 .$