Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AI$ là phân giác $\widehat{BAH}\to \widehat{MAI}=\widehat{IAH}$ 

Mà $AM=AH\to \Delta AMI=\Delta AHI(c.g.c)\to IM=IH$

Ta có : $AJ$ là phân giác $\widehat{HAC}\to \widehat{HAJ}=\widehat{JAN}$

Mà $AH=AN\to \Delta AJH=\Delta AJN(c.g.c)$

$\to JN=JH$

b.Từ câu a $\to \widehat{IHA}=\widehat{IMA},\widehat{JHA}=\widehat{JNA}$

$\to \widehat{IHJ}=\widehat{IHA}+\widehat{AHJ}=\widehat{IMA}+\widehat{JNA}=\widehat{AMN}+\widehat{ANM}=90^o$
$\to \Delta HIJ$ vuông tại H
$\to IJ^2=HI^2+HJ^2=IM^2+JN^2$

c.Ta có : $AM=AN, AM\perp AN\to \Delta AMN$ vuông cân tại A

$\to \widehat{AMN}=\widehat{ANM}=45^o$

Từ câu a $\to \widehat{IHA}=\widehat{IMA}=45^o$

$\to HI$ là phân giác $\widehat{AHB}$

Mà $AI$ là phân giác $\widehat{BAH}\to I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABH$

$\to BI$ là phân giác $\widehat{ABH}$

Ta có : $AH\perp BC, BA\perp AC\to \widehat{ABH}=\widehat{HAC}(+\widehat{HAB}=90^o)$

$\to \widehat{ABI}=\widehat{JAC}$ vì BI, AJ là phân giác $\widehat{ABH},\widehat{HAC}$

$\to \widehat{ABK}=\widehat{ABI}=\widehat{KAN}$
$\to \widehat{KAB}+\widehat{ABK}=\widehat{KAB}+\widehat{KAN}=90^o$

$\to BK\perp AK\to BK\perp AJ$

d.