Đáp án:

a) $HB=HC, \widehat{BAH}=\widehat{CAH}$

b) $AH=3cm$

c) $\triangle HDE$ cân tại H

d) AH là đường trung trực của DE

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle AHB$ và $\triangle AHC$:

$AB=AC$ (gt)

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\,\,\,(=90^o)$

$AH$: chung

$\to\triangle AHB=\triangle AHC$ (ch - cgv)

$\to HB=HC$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (2 góc tương ứng)

b)

Ta có: $HB=HC$ (cmt)

$\to HB=HC=\dfrac{1}{2}BC=4(cm)$

$\triangle AHB$ vuông tại H:

$AH^2+HB^2=AB^2$ (định lý Pytago)

$\to AH=\sqrt{AB^2-HB^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3(cm)$

c)

Xét $\triangle AHD$ và $\triangle AHE$:

$\widehat{ADH}=\widehat{AEH}\,\,\,(=90^o)$

$AH$: chung

$\widehat{DAH}=\widehat{EAH}\,\,\,(\widehat{BAH}=\widehat{CAH})$

$\to\triangle AHD=\triangle AHE$ (ch - gn)

$\to AD=AE$ (2 cạnh tương ứng)

$\to HD=HE$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle HDE$ cân tại H

d)

Gọi giao điểm của AH và DE là F

Xét $\triangle ADF$ và $\triangle AEF$:

$AD=AE$ (cmt)

$\widehat{DAF}=\widehat{EAF}\,\,\,(\widehat{BAH}=\widehat{CAH})$

$AF$: chung

$\to\triangle ADF=\triangle AEF$ (c.g.c)

$\to FD=FE$ (2 cạnh tương ứng) (1)

$\to\widehat{AFD}=\widehat{AFE}$ (2 góc tương ứng)

Mà $\widehat{AFD}+\widehat{AFE}=180^o$ (kề bù)

$\to\widehat{AFD}=\widehat{AFE}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\\\to AF\bot DE\,\,\,(2)$

Từ (1), (2) $\to$ AF là đường trung trực của DE

Hay AH là đường trung trực của DE