Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB\perp AC\to BC^2=AB^2+AC^2=2500\to BC=50$ 

Mà $AK\perp BC\to AK.BC=AB.AC=2S_{ABC}$

$\to AK=\dfrac{AB.AC}{BC}=24$

b.Ta có : $AK\perp BC\to \widehat{AKB}=\widehat{BAC}=90^o$
$\to \Delta ABK\sim\Delta CBA(g.g)$
$\to \dfrac{AB}{CB}=\dfrac{BK}{BA}\to AB^2=BK.BC$

c.Từ câu b $\to \widehat{BAK}=\widehat{ACK}$

Mà $D,B$ đối xứng qua K $,AK\perp BD\to AK$ là trung trực của BD
$\to \widehat{DAK}=\widehat{BAK}=\widehat{ACK}$

$\to \Delta KAD\sim\Delta KCA(g.g)$

d.Từ câu b $\to BK=\dfrac{AB^2}{BC}=18$

$\to S_{ABK}=\dfrac12AK.BK=216$

$\to S_{ABD}=2S_{ABK}=432$

Do $HD\perp BC, AK\perp BC\to AK//DH$

Mà K là trung điểm BD
$\to A$ là trung điểm BH
$\to S_{BDH}=2S_{ABD}=864$

a1, Xét tam giác ABC vuông tại A (GT)

=> $AB^{2}$ + $AC^{2}$ = $BC^{2}$ (định lý pytago)

mà AB=30cm, AC=40cm (GT)

=> $30^{2}$ + $40^{2}$ = $BC^{2}$ 

=> $BC^{2}$ = 900+1600

=> $BC^{2}$ = 2500

=> BC = √2500

=> BC = 50(cm)

b, Xét tam giác ABC và tam giác KBA 

có góc BAC = góc BKA = $90^{o}$ (GT)

     góc B: chung

=> tam giác BAC đồng dạng với tam giác KBA (G.G)

=> $\frac{AB}{KB}$ = $\frac{BC}{BA}$ (đn tam giác đồng dạng)

=> AB.AB=BK.BC(đpcm)

a2, Vì $\frac{AB}{KB}$ = $\frac{BC}{BA}$ (cmt)

mà AB= 30cm, BC= 50cm(GT)

=> $\frac{30}{KB}$ = $\frac{50}{30}$ 

=> KB= $\frac{30.30}{50}$ = 18 (cm)

Xét tam giác AKB vuông tại K (AK là đường cao)

=> $BK^{2}$ +$KA^{2}$ = $BA^{2}$ (đlý pytago)

mà BK= 18cm(cmt), BA= 30cm(gt)

=> $18^{2}$ +AK= $30^{2}$ 

=> $AK^{2}$       = 900 - 324

=> $AK^{2}$       = 576

=>  AK                = √576

=>  AK                 = 24 (cm)