Theo bài ta có : 

c=$a^{2}$+5a+7 

Xét : nếu a là số lẻ thì a sẽ có tận cùng là 1;3;5;7;9

Có : 

+) a=...1 ⇒c=$a^{2}$+5a+7 =$(..1)^{2}$+(..1)5+7=(..1)+(..5)+7=(..3) $\not\vdots$ 2 (KTM)

+) a=...3 ⇒c=$a^{2}$+5a+7 =$(..3)^{2}$+(..3)5+7=(..9)+(..5)+7=(..1) $\not\vdots$ 2 (KTM)

+) a=...5 ⇒c=$a^{2}$+5a+7 =$(..5)^{2}$+(..5)5+7=(..5)+(..5)+7=(..7) $\not\vdots$ 2 (KTM)

+) a=...7 ⇒c=$a^{2}$+5a+7 =$(..7)^{2}$+(..7)5+7=(..9)+(..5)+7=(..1) $\not\vdots$ 2 (KTM)

+) a=...9 ⇒c=$a^{2}$+5a+7 =$(..9)^{2}$+(..9)5+7=(..9)+(..5)+7=(..1) $\not\vdots$ 2 (KTM)

Vậy nếu a là số lẻ thì c $\not\vdots$ 2     (1)

Xét :nếu a là số chẵn thì a sẽ có tận cùng là0;2;4;6;8

Có : 

+) a=...0 ⇒c=$a^{2}$+5a+7 =$(..0)^{2}$+(..0)5+7=(..1)+(..0)+7=(..7) $\not\vdots$ 2 (KTM)
+) a=...2 ⇒c=$a^{2}$+5a+7 =$(..2)^{2}$+(..2)5+7=(..4)+(..0)+7=(..1) $\not\vdots$ 2 (KTM)
+) a=...4 ⇒c=$a^{2}$+5a+7 =$(..4)^{2}$+(..4)5+7=(..6)+(..0)+7=(..3) $\not\vdots$ 2 (KTM)
+) a=...6 ⇒c=$a^{2}$+5a+7 =$(..6)^{2}$+(..6)5+7=(..6)+(..0)+7=(.3) $\not\vdots$ 2 (KTM)
+) a=...8 ⇒c=$a^{2}$+5a+7 =$(..8)^{2}$+(..8)5+7=(..4)+(..0)+7=(..1) $\not\vdots$ 2 (KTM)

Vậy nếu a là số chẵn thì c  $\not\vdots$ 2     (2)

Từ (1) và (2) 

⇒ c=$a^{2}$+5a+7 $\not\vdots$ 2 

⇒ c=$a^{2}$+5a+7 k là bội của 2 ( đpcm)

Đáp án+Giải thích các bước giải:

<=> a(a+5) + 7 không chia hết cho 2

 a chẵn => a + 5 lẻ => a(a+5) chẵn nên a(a+5) chia hết cho 2

Và ngược lại nếu a lẻ thì a(a+5) cũng chia hết cho 2

(Mà 7 không chia hết cho 2 nên Tổng a(a+5) và 7 không chia hết cho 2)

Hoặc chẵn + lẻ =  lẻ => tổng đó không chia hết cho 2