Đáp án + giải thích các bước giải:

a) `I` là trung điểm của `BC`

`->OI⊥BC `

`->ΔOIA` vuông tại `I`

`->I` thuộc đường ngoại tiếp `ΔOIA `

`->I` thuộc đường tròn đường kính `OA`

Tương tự với `ΔOMA` và `ΔONA`

`->O,N,A,M,I` cùng thuộc đường tròn đường kính `OA`

b) Ta có:

`\hat{ACM}=1/2 sđ \stackrel\frown{MB}` (góc nội tiếp)

`\hat{AMB}=1/2 sđ \stackrel\frown{MB}` (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

`->\hat{ACM}=\hat{AMB}`

mà `\hat{CAM}=\hat{MAB}`

`->ΔAMC~ΔABM(gg)`

`->(AM)/(AB)=(AC)/(AM)`

`->AM^2=AB.AC`

c) Ta có:

`N,A,M,I` cùng thuộc đường tròn đường kính `OA `

`->NAMI` là tứ giác nội tiếp

`->\hat{IAM}=\hat{INM}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung `IM`)

mà `\hat{IAM}=\hat{IBE}` (hai góc ở vị trí đồng vị mà `EB////MA`)

`->\hat{INM}=\hat{IBE} `

`->IEBN` là tứ giác nội tiếp

`->\hat{EIB}=\hat{ENB}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung `EB`)

mà `\hat{MCB}=\hat{ENB}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung `MB`)

`->\hat{EIB}=\hat{MCB}`

mà hai góc này ở vị trí đồng vị

`->MC////EI`

d) `ΔMBC` có `G` là trong tâm và `MI` là trung tuyến

`-> M,I,G` thẳng hàng và `(MG)/(MI)=2/3`

Gọi `P` là trung điểm `OA` mà `O,A` cố định

`->P` cố định

`ΔOMA` vuông tại `M` và `ΔOIA` vuông tại `I` mà `P` là trung điểm `OA`

`->IP=MP=(OA)/2`

Qua `G` kẻ đường thẳng `d'` song song với `PI` cắt `MP` tại `Q`, ta có:

`(MQ)/(MI)=(MQ)/(MP)=(MG)/(MI)=2/3` mà `P,M` cố định 

`->Q` cố định `(1)`

Ta có: `(GQ)/(IP)=(MG)/(MI)=2/3`

`->GQ=2/3 . IP=2/3 . (OA)/2=(OA)/3` (không đổi) `(2)`

Từ `(1)` và `(2) ->G∈(Q;(OA)/3)`