Đáp án:

a) TheoPytago ta có:

$\begin{array}{l}
B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\
 \Rightarrow BC = 5\left( {cm} \right)
\end{array}$

b)

Theo t/c đường phân giác ta có:

$\begin{array}{l}
\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}}\\
 \Rightarrow \frac{{DB}}{3} = \frac{{DC}}{4} = \frac{{DB + DC}}{{3 + 4}} = \frac{{BC}}{7} = \frac{5}{7}\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
DB = \frac{{15}}{7}\left( {cm} \right)\\
DC = \frac{{20}}{7}\left( {cm} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

c) Do AB vuông góc AC nên DM//AB; DN//AC

=> DM ⊥AC và DN ⊥AB

=> AMDN có 3 góc vuông tại A,M,N

=> AMDN là hình chữ nhật

Lại có AD là phân giác của góc A
=> AMDN là hình vuông

Theo Talet ta có:

$\begin{array}{l}
\frac{{DB}}{{BC}} = \frac{{DN}}{{AC}}\\
 \Rightarrow \frac{3}{7} = \frac{{DN}}{4}\\
 \Rightarrow DN = \frac{{12}}{7}\left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow {C_{AMDN}} = 4.DN = \frac{{48}}{7}\left( {cm} \right)
\end{array}$