Đáp án:

 a)Tứ giác ADCN là hình thoi

b)Tứ giác ABDN là hình bình hành

c)Tứ giác BDNM là hình thang cân

d)DM đi qua trung điểm của AN

Giải thích các bước giải:

a)Vì N là điểm đối xứng của D qua AC(gt)

$\Rightarrow$AC là đường trung trực của DN

$\Rightarrow$$\left \{ {{AD=AN} \atop {CD=CN}} \right.$(tính chất đường trung trực)

Xét  $\triangle$ABC vuông tại A có:

AD là đường trung tuyến(gt)

$\Rightarrow$AD=DC=$\frac{BC}{2}$(tính chất đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tam giác vuông)

Ta có: $\left.\begin{matrix} AD=AN(cmt)\\CD=CN(cmt)\\ AD=DC(cmt)\end{matrix}\right\}$$\Leftrightarrow$AD=DC=CN=AN

Xét tứ giác ADCN có:

AD=DC=CN=AN(cmt)

=> tứ giác ADCN là hình thoi(đpcm)

Vậy tứ giác ADCN là hình thoi

b)Gọi DN$\cap$AC={O}

Ta có: AC là đường trung trực của DN(cmt)

$\Rightarrow$DO=$\frac{DN}{2}$

vì AD là đường trung tuyến của $\triangle$ABC(gt)

$\Rightarrow$BD=DC=$\frac{BC}{2}$

vì tứ giác ADCN là hình thoi(cmt)

$\Rightarrow$AO=OC=$\frac{AC}{2}$ 

Xét $\triangle$ABC vuông tại A có:

AO=OC=$\frac{AC}{2}$(cmt)

BD=DC=$\frac{BC}{2}$(cmt)

$\Rightarrow$DO là đường trung bình $\triangle$ABC

$\Rightarrow$$\left \{ {{DO=\frac{AB}{2}}\atop {DN//AB}} \right.$ (Tính chất đường trung bình tam giác)

Ta có: DO=$\frac{DN}{2}$(cmt)

DO= $\frac{AB}{2}$(cmt)

$\Rightarrow$AB=DN

Xét tứ giác ABDN có:

AB=DN(cmt)

AB//DN(cmt)

$\Rightarrow$ tứ giác ABDN là hình bình hành(đpcm)

Vậy tứ giác ABDN là hình bình hành

c)Nối C với M

Xét tam giác BCM có:

CA là đường cao(tam giác ABC vuông tại A)

CA là đường trung tuyến(gt)

=>Tam giác BCM cân tại C

mà CA là đường trung tuyến(gt)

=>Góc C1=góc C2

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

góc B+góc C1=90 độ(2 góc phụ nhau)

Xét tam giác ACM vuông tại A có:

góc C2+góc M=90 độ (2 góc phụ nhau)

Mà C1=C2(cmt)

=>góc B=góc M

Xét tứ giác BDNM có:

DN//BM( vì M$\in$AB)

=>tứ giác BDNM là hình thang

Mà góc B=góc M(cmt)

=>Tứ giác BDNM là hình thang cân

d)Ta có: DN=AB(cmt)

Mà AB=AM(gt)

=>DN=AM

Xét tứ giác ADNM có:

DN=AM(cmt)

DN//AM(cmt)

=>Tứ giác ADNM là hình bình hành

=>DM đi qua trung điểm của AN(đpcm)

Vậy DM đi qua trung điểm của AN