Giải chi tiết:

Parabol (P):y=x2(P):y=x2 và đường thẳng (d):y=2mx−m2+1(d):y=2mx−m2+1

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d)(d) và parabol (P)(P) ta có

x2=2mx−m2+1⇔x2−2mx+m2−1=0(∗)x2=2mx−m2+1⇔x2−2mx+m2−1=0(∗)

Số giao điểm của (d) và (P) cũng chính là số nghiệm của phương trình (*)

Phương trình (∗)(∗) có Δ′=m2−(m2−1)=1>0Δ′=m2−(m2−1)=1>0

a) Vì Δ′>0Δ′>0 nên phương trình (∗)(∗) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi mm hay đường thẳng (d)(d) luôn cắt parabol (P)(P) tại hai điểm phân biệt.

b) Theo câu a) ta có đường thẳng (d)(d) luôn cắt parabol (P)(P) tại hai điểm phân biệt.

Gọi x1;x2x1;x2 là hoành độ giao điểm của (d)(d) và (P)(P) thì x1;x2x1;x2 là hai nghiệm của phương trình (∗)(∗)

Theo hệ thức Vi-et ta có {x1+x2=2mx1x2=m2−1{x1+x2=2mx1x2=m2−1

Xét 1x1+1x2=−2x1x2+11x1+1x2=−2x1x2+1

ĐK: x1x2≠0⇔m2−1≠0⇔m≠±1x1x2≠0⇔m2−1≠0⇔m≠±1

⇔x1+x2x1x2=−2x1x2+x1x2x1x2⇔x1+x2x1x2=−2x1x2+x1x2x1x2

⇒x1+x2=−2+x1x2⇔2m=−2+m2−1⇔m2−2m−3=0⇔m2−3m+m−3=0⇔m(m−3)+(m−3)=0⇔(m+1)(m−3)=0⇔[m+1=0m−3=0⇔[m=−1(ktm)m=3(tm)⇒x1+x2=−2+x1x2⇔2m=−2+m2−1⇔m2−2m−3=0⇔m2−3m+m−3=0⇔m(m−3)+(m−3)=0⇔(m+1)(m−3)=0⇔[m+1=0m−3=0⇔[m=−1(ktm)m=3(tm)

Vậy m=3m=3 là giá trị thỏa mãn điều kiện đề bài.

Chọn B.