Đáp án:

Điểm cân bằng thị trường: $M(100;160;100;120)$

Giải thích các bước giải:

Thị trường cân bằng $\Leftrightarrow Q_S = Q_D$

\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow \begin{cases}
-30 + 20P_1 - 3P_2 - P_3 - P_4 = 115 - 11P_1 + P_2 + 2P_3 + 5P_4\\
-50 - 2P_1 + 18P_2 - 2P_3- P_4 = 250 + P_1 -9P_2 +P_3 + 2P_4\\
-40- P_1 - 2P_2 +12P_3 = 150 + P_1 + P_2- 7P_3 + 3P_4\\
-15 - 2P_2 - P_3 +18P_4 = 180 + P_1 + 2P_3-10P_4
\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}31P_1 - 4P_2 - 3P_3 - 6P_4 = 145\\ P_1 - 9P_2 + P_3 + P_4 = -100\\ 2P_1 + 3P_2 - 19P_3 + 3P_4 = -190\\ P_1 + 2P_2 + 3P_3 - 28P_4 = -195\end{cases}\quad (*)\\
\text{Gọi $A,\ \overline{A}$ lần lượt là ma trận hệ số}\\
\text{và ma trận hệ số mở rộng của hệ $(*)$}\\
\text{Ta có:}\\
\kern30pt \overline{A} = \left(\begin{array}{cccc|c}
31&-4&-3&-6&145\\
1&-9&1&1&-100\\
2&3&-19&3&-190\\
1&2&3&-28&-195
\end{array}\right)\\
\xrightarrow{\begin{array}{l}
r_2 - \tfrac{1}{31}r_1 \to r_2\\
r_3 - \tfrac{2}{31}r_1 \to r_3\\
r_4 - \tfrac{1}{31}r_1 \to r_4
\end{array}}
\left(\begin{array}{cccc|c}
31&-4&-3&-6&145\\
0&-\dfrac{275}{31}&\dfrac{34}{31}&\dfrac{37}{31}&-\dfrac{3245}{31}\\
0&\dfrac{101}{31}&-\dfrac{583}{31}&\dfrac{105}{31}&-\dfrac{6180}{31}\\
0&\dfrac{66}{31}&\dfrac{96}{31}&-\dfrac{862}{31}&-\dfrac{6190}{31}
\end{array}\right)\\
\xrightarrow{\begin{array}{l}
r_3 + \tfrac{101}{275}r_2 \to r_3\\
r_4 + \tfrac{6}{25}r_2 \to r_4
\end{array}}
\left(\begin{array}{cccc|c}
31&-4&-3&-6&145\\
0&-\dfrac{275}{31}&\dfrac{34}{31}&\dfrac{37}{31}&-\dfrac{3245}{31}\\
0&0&-\dfrac{5061}{275}&\dfrac{1052}{275}&-\dfrac{1189}{5}\\
0&0&\dfrac{84}{25}&-\dfrac{688}{25}&-\dfrac{1124}{5}
\end{array}\right)\\
\xrightarrow{r_4 + \tfrac{44}{241}r_3 \to r_4}
\left(\begin{array}{cccc|c}
31&-4&-3&-6&145\\
0&-\dfrac{275}{31}&\dfrac{34}{31}&\dfrac{37}{31}&-\dfrac{3245}{31}\\
0&0&-\dfrac{5061}{275}&\dfrac{1052}{275}&-\dfrac{1189}{5}\\
0&0&0&-\dfrac{6464}{241}&-\dfrac{64640}{241}
\end{array}\right)\\
\Rightarrow r(A) = r(\overline{A}) = 4\\
\Rightarrow \text{Hệ phương trình có nghiệm duy nhất}\\
\text{Ta được:}\\
\quad \begin{cases}31P_1\qquad  - 4P_2\quad - 3P_3\kern17pt - 6P_4 = 145\\
\qquad\ \ - \dfrac{275}{31}P_2 + \dfrac{34}{31}P_3\quad + \dfrac{37}{31}P_4 = - \dfrac{3245}{31}\\
\kern62pt - \dfrac{5061}{275}P_3 + \dfrac{1052}{275}P_4 = - \dfrac{1189}{5}\\
\kern110pt - \dfrac{6464}{241}P_4 = - \dfrac{64640}{241}
\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}P_1 = 10\\P_2 = 15\\P_3 = 15\\P_4 = 10\end{cases}\qquad \Rightarrow \begin{cases}Q_1 = 100\\Q_2 = 160\\Q_3 = 100\\Q_4= 120\end{cases}
\end{array}\)

Vậy điểm cân bằng thị trường là $M(100;160;100;120)$