$\text{#Moon}$

$\text{a. Xét tứ giác AHDK có: }$

$\text{$\widehat{A}$ = $90^0$ (ΔABC vuông tại A)}$

$\text{$\widehat{H}$ = $90^0$ (DH ⊥ AC)}$

$\text{$\widehat{K}$ = $90^0$ (DI đối xứng AB qua K)}$

$\text{→Tứ giác AHDK là hình chữ nhật (DHNB)}$

$\text{b. Ta có: ΔABC vuông tại A:}$

$\text{→AD = $\frac{1}{2}$ BC (AD trung tuyến ứng với cạnh huyền BC)}$

$\text{Ta có: KH = AD (hai đường chéo của hình chữ nhật AHDK)}$

$\text{mà AD= $\frac{1}{2}$ BC = BD (cmt)}$

$\text{→KH = BD (=AD)}$

$\text{Xét ΔDKB vuông tại K và ΔDKA vuông tại K có:}$

$\text{DK chung}$

$\text{AD = BD (cmt)}$

$\text{→ΔDKB = ΔDKA (cạnh huyền-cạnh góc vuông)}$

$\text{→AK = BK (hai cạnh tương ứng)}$

$\text{→K trung điểm AB (AK=BK)}$

$\text{Xét ΔBKI vuông tại K và ΔADK vuông tại K có:}$

$\text{AK = BK (K trung điểm AB)}$

$\text{IK = DK (DI đối xứng AB qua K)}$

$\text{→ΔBKI = ΔADK (hai cạnh góc vuông)}$

$\text{IB = AD (hai cạnh tương ứng)}$

$\text{$\widehat{IBK}$ = $\widehat{DAK}$ (hai góc tương ứng)}$

$\text{mà hai góc này ở vị trí so le trong}$

$\text{→IB // AD (DHNB)}$

$\text{Xét tứ giác ADBI có:}$

$\text{IB // AD (cmt)}$

$\text{IB = AD (cmt)}$

$\text{→Tứ giác ADBI là hình bình hành (DHNB)}$

$\text{mà AD = BD (cmt)}$

$\text{→Tứ giác ADBI là hình thoi (DHNB)}$

$\text{Xét tứ giác BDHK có: }$

$\text{KH = BD (cmt)}$

$\text{BK = DH (KA = DH)}$

$\text{→Tứ giác BDHK là hình bình hành (DHNB)}$

$\text{c. Tam giác ABC cần có điều kiện:}$

$\text{ΔABC vuông cân tại A}$

$\text{Ta có: AD là trung tuyến (D trung điểm BC)}$

$\text{→AD cũng là đường cao (ΔABC vuông tại A)}$

$\text{KH // BD (Tứ giác BDHK là hình bình hành)}$

$\text{→AD ⊥ KH (từ vuông góc đến song song)}$

$\text{mà tứ giác AHDK là hình chữ nhật}$

$\text{→Tứ giác AHDK là hình vuông (DHNB)}$