`(OA)/(OA')=(S_{\triangle COA})/(S_{\triangle A'OC}) = (S_{\triangle AOB})/(S_{\triangle A'OB}) = (S_{\triangle AOC}+S_{\triangle AOB})/(S_{\triangle BOC})`

Tương tự :

`(OB)/(OB')=(S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOB})/(S_{\triangle AOC})`

`(OC)/(OC')=(S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC})/(S_{\triangle AOB})`

Đặt `S_{\triangle BOC}=a, S_{\triangle AOC}=b, S_{\triangle AOB}=c`

`-> a,b,c>0`

`-> (OA)/(OA') = (b+c)/a, (OB)/(OB') = (a + c)/b, (OC)/(OC') = (a + b)/c`

`->N = (b+c)/a . (a+c)/b . (a+b)/c`

`-> N^2 = ((b+c)^2 . (a+c)^2 . (a+b)^2)/(abc)^2`

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương `b,c` ta được :

`b+c>= 2\sqrt{bc}`

`->(b+c)^2 >= 4bc`

Tương tự :

`(a+c)^2>=4ac`

`(a+b)^2>=4ab`

`->N^2>= (64a^2b^2c^2)/(a^2b^2c^2)=64`

`->N>= 8`

Dấu "`=`" xảy ra khi : `a=b=c`

`<=>O` là trọng tâm của `\triangle ABC`

Vậy `O` là trọng tâm của `\triangle ABC` để `N>= 8`