Dựng hình chữ nhật `A'B'C'D'` trong `\triangle ABC (A'\in AB, B'\in AC, C'\in BC, D'\in BC)`

Từ `A` kẻ `AK\bot BC`

Xét tích `(AB')/(AC) . (B'C)/(AC)`

Đặt `(AB')/(AC) = a, (B'C)/(AC)=b`

`->a,b>0`

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương `a,b` ta được :

`a+b>= 2\sqrt{ab}`

`-> (a+b)^2>=4ab`

`->ab\le (a+b)^2/4`

`-> (AB')/AC . (B'C)/(AC)\le ((AB')/(AC) + (B'C)/(AC))^2/4 = 1/4`

Dấu = xảy ra khi `a=b<=>AB'=B'C<=>B'` là trung điểm của `AC`

`\triangle ABC` có : $A'B'//BC, B'$ là trung điểm của `AC`

`->A'` là trung điểm của `AB`

Dùng Talet dễ dàng chứng minh được :

$\dfrac{B'C'}{AK}=\dfrac{CB'}{AC}\\\dfrac{A'B'}{BC}=\dfrac{AB'}{AC}\\\dfrac{B'C'}{AK}.\dfrac{A'B'}{BC}=\dfrac{AB'}{AC}.\dfrac{B'C}{AC}\le \dfrac{1}{4}\\\to \dfrac{S_{A'B'C'D'}}{2 . \dfrac{1}{2}.AK . BC}\le \dfrac{1}{4}\\\to \dfrac{S_{A'B'C'D'}}{2S_{\triangle ABC}}\le \dfrac{1}{4}\\\to S_{A'B'C'D'}\le \dfrac{1}{2}S_{\triangle ABC}$

Dấu "$=$" xảy ra khi : $A'B'$ là đường trung bình của $\triangle ABC$

Vậy diện tích hình chữ nhật nội tiếp của $\triangle ABC$ có diện tích lớn nhất là $\dfrac{1}{2}S_{\triangle ABC}$ khi $A'B'$ là đường trung bình của $\triangle ABC$