Kẻ `IG ⊥ AB, IE ⊥ AC, ID ⊥ BC`

Xét `ΔIGB` và `ΔIDB` có:

`\hat{IGB} = \hat{IDB} = 90^o` (cách vẽ)

`\hat{IBG} = \hat{IBD}` (Do `BI` là tia phân giác)

`BI` cạnh chung

`=> ΔIGB = ΔIDB` (cạnh huyền - góc nhọn)

`=> IG = ID` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔIDC` và `ΔIEC` có:

`IC` cạnh chung

`\hat{ICE} = \hat{ICD}` (Do `CI` là tia phân giác)

`\hat{IDC} = \hat{IEC} = 90^o` (cách vẽ)

`=> ΔIDC = ΔIEC` (cạnh huyền - góc nhọn)

`=> IE = ID` (2 cạnh tương ứng)

Mà `IG = ID` (cmt)

`=> IE = IG`.

Xét `ΔIGA` và `ΔIEA` có:

`\hat{IGA} = \hat{IEA} = 90^o` (cách vẽ)

`AI` cạnh chung

`IG = IE` (cmt)

`=> ΔIGA = ΔIEA` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

`=> \hat{IAG} = \hat{IAE}` (2 góc tương ứng)

`=> AI` là tia phân giác của `\hat{BAC}` (đpcm)

Lưu ý: Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa.

`\text{Kẻ ID⊥AB, IE⊥BC, IF⊥AC.}`

`\text{Xét 2 tam giác vuông IDB và IEB có:}`

`\hat{IDB}` = `\hat{IEB}` = `90^o`

`\hat{DBI}` = `\hat{EBI}` `\text{(giả thiết)}`

`\text{Cạnh huyền BI chung}`

`=>` `\text{ΔIDB = ΔIEB (cạnh huyền - góc nhọn)}`

`=>` `\text{ID = IE (2 cạnh tương ứng)} (1)`

`\text{Xét 2 tam giác vuông IEC và IFC có:}`

`\hat{IEC}` = `\hat{IFC}` = `90^o`

`\hat{ECI}` = `\hat{FCI}` `\text{(giả thiết)}`

`\text{Cạnh huyền CI chung}`

`=>` `\text{ΔIEC = ΔIFC (cạnh huyền - góc nhọn)}`

`=>` `\text{IF = IE (2 cạnh tương ứng)} (2)`

`\text{Từ (1) và (2)}` `=>` `ID=IF`

`\text{Xét 2 tam giác vuông IDA và IFA có:}`

`\hat{IDA}` = `\hat{IFA}` = `90^o`

`ID=IF` `\text{(chứng minh trên)}`

`\text{Cạnh huyền AI chung}`

`=>` `\text{ΔIDA = ΔIFA (cạnh huyền - cạnh góc vuông)}`

`=>` `\hat{IDA}` = `\hat{IFA}``\text{(2 góc tương ứng)}`

`=>` `\text{AI là tia phân goác của góc A}`