Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AB\perp AC, AH\perp BC$ 

$\to S_{ABC}=\dfrac12AB.AC=\dfrac12AH.BC\to AB.AC=AH.BC$

b.Ta có $AB\perp AC\to BC^2=AB^2+AC^2\to AC^2=BC^2-AB^2=400\to AC=20$

$\to AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=12\to BH^2=AB^2-AH^2=81\to BH=9\to CH=BC-BH=16$

c.Gọi $CE\cap AF=O$

Ta có $AB\perp AC,AH\perp BC\to\widehat{BAH}=\widehat{ACH}(+\widehat{HAC}=90^o)$

Mà $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o$

$\to\Delta ABH\sim\Delta CAH(g.g)$

Mà F,E là trung điểm BH,AH

$\to \Delta BFA\sim\Delta AEC$

$\to \widehat{BAF}=\widehat{ACE}$

$\to \widehat{BAC}+\widehat{ACE}=\widehat{FAC}+\widehat{BAF}=\widehat{BAC}=90^o$

$\to\widehat{OAC}+\widehat{ACO}=90^o\to CE\perp AF=O$

d.Đề sai, sửa chứng minh $4EO.EC=AH^2$

Ta có $CO\perp AF,AH\perp BC\to\widehat{AOE}=\widehat{EHC}=90^o$

Mà $\widehat{AEO}=\widehat{HEC}\to\Delta AOE\sim\Delta CHE(g.g)$

$\to\dfrac{AE}{CE}=\dfrac{OE}{HE}\to OE.CE=EA.EH$

Mà E là trung điểm AH $\to EA=EH=\dfrac{AH}{2}$

$\to EO.EC=\dfrac{AH^2}{4}\to 4EO.AC=AH^2$

e.Vì E,F là trung điểm HB,AH
$\to EF$ là đường trung bình $\Delta AHB\to EF=\dfrac12AB$

Vì E là trung điểm AH $\to EA=EH$

Ta có $EF$ là đường trung bình $\Delta HAB\to EF//AB\to EF\perp AC\to  \widehat{AKE}=\widehat{EHF}=90^o$

Mà $\widehat{AEK}=\widehat{FEH}\to\Delta KAE\sim\Delta HFE(g.g)$
$\to\dfrac{EA}{EF}=\dfrac{EK}{EH}\to EK.EF=EA.EH=\dfrac{AH^2}{4}$

$\to EK=\dfrac{AH^2}{4EF}=\dfrac{AH^2}{2AB}=\dfrac{AB^2.AC^2}{BC^2.2AB}$ vì $AB.AC=AH.BC$

$\to EK=\dfrac{AB.AC^2}{2BC^2}$