Giải thích các bước giải:

a.Vì AH là phân giác $\widehat{BAC}\to \widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ 

Mà $\Delta ABC$ cân tại A$\to AB=AC$

$\to\Delta AHB=\Delta ACH(c.g.c)\to \widehat{AHB}=\widehat{AHC}$

Mà $\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^o\to \widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o$

$\to AH\perp BC$

b.Sửa đề : trên cạnh AB lấy I,trên cạnh AC lấy K sao cho BI=CK. Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BC tại M, từ K kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt BC tại N. Chứng minh BM=CN

Ta có $IM\perp AB,KN\perp AC\to\widehat{BIM}=\widehat{NKC}=90^o$

Mà $BI=CK,\widehat{IBM}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{KCN}$

$\to\Delta BIM=\Delta CKN(g.c.g)$

$\to BM=CN$

c.Từ câu b $\to\widehat{PMN}=\widehat{IMB}=\widehat{KNC}=\widehat{PNM}$

$\to\Delta MPN$ cân tại P

d.Từ câu b $\to IM=KN=2$

Mà $MI\perp AB\to AM^2=AI^2+IM^2=40\to AM=2\sqrt{10}$

e.Từ câu a $\to HB=HC\to H$ là trung điểm BC

Ta có $BM=CN\to CM=BC-BM=BC-CN=BN$

$\to HN=HB-BN=HC-CM=HM\to H$ là trung điểm MN

Vì $\Delta PMN$ cân tại P, H là trung điểm MN

$\to PH\perp MN\to PH\perp BC$

Mà $AH\perp BC\to A,P,H$ thẳng hàng