Giải thích các bước giải:

a.Ta có $BE,CF$ là đường cao của $\Delta ABC$

$\to \widehat{AFC}=\widehat{AEB}=90^o$

Mà $\widehat{FAC}=\widehat{EAB}\to\Delta AFC\sim\Delta AEB(g.g)$

$\to\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AC}{AB}\to AE.AC=AF.AB$

b.Ta có $AD\perp BC, CF\perp AB,BE\perp AC$

$\to\widehat{BHD}=\widehat{ACD}(+\widehat{EBC}=90^o)$

Mà $\widehat{BDH}=\widehat{ADC}=90^o$

$\to\Delta BDH\sim\Delta ADC(g.g)$

$\to\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{DH}{DC}\to DB.DC=DA.DH$

c.Ta có : $IH\perp MN\to\widehat{AHN}+\widehat{DHI}=90^o$

Mà $\widehat{DHI}+\widehat{HID}=90^o (DH\perp BC)$

$\to\widehat{AHN}=\widehat{HID}\to\widehat{AHN}=\widehat{HIB}$

Mà $\widehat{HAN}=\widehat{DAC}=\widehat{HBD}(\Delta BDH\sim\Delta ADC)$

$\to\Delta AHN\sim\Delta BIH(g.g)$

$\to\dfrac{HN}{IH}=\dfrac{AH}{BI}\to HN=\dfrac{AH.IH}{BI}$

Chứng minh tương tự $\to HM=\dfrac{AH.IH}{CI}$

Vi I là trung điểm BC$\to IB=IC$

$\to\dfrac{AH.IH}{BI}=\dfrac{AH.IH}{CI}\to HM=HN\to H$ là trung điểm MN