Đáp án:

 1) $\left( {SC,\left( {SAD} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{10}}} \right)$

2) $\left( {SO,\left( {SAD} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{5\sqrt {13} }}} \right)$

3) $\left( {SD,\left( {SBC} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{{15}}{{14\sqrt {13} }}} \right)$

4) $\left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{6}{{5\sqrt {21} }}} \right)$

Giải thích các bước giải:

Gọi E là trung điểm AD; $BM\bot AC=M$

Ta có:

${SA \bot \left( {ABCD} \right)}$$\Rightarrow A$ là hình chiếu của $S$ trên $(ABCD)$

$\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA} = {60^0}$

Mà 

$\begin{array}{l}

\Delta ABC;\widehat {ABC} = {90^0};AB = 3a;BC = 4a\\

 \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 5a

\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}

\Delta SAC;\widehat {SAC} = {90^0};\widehat {SCA} = {60^0};AC = 5a\\

 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}

SA = AC.\tan \widehat {SCA} = 5a.\sqrt 3 \\

SC = \dfrac{{AC}}{{\cos \widehat {SCA}}} = \dfrac{{5a}}{{\dfrac{1}{2}}} = 10a

\end{array} \right.

\end{array}$

1) Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}

CD \bot AD\\

CD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)

\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)$

$\Rightarrow D$ là hình chiếu của $C$ trên $(SAD)$

$ \Rightarrow \left( {SC,\left( {SAD} \right)} \right) = \left( {SC,SD} \right) = \widehat {CSD}$

Lại có:$\begin{array}{l}

\Delta SCD;\widehat {CDS} = {90^0}\left( {CD \bot \left( {SAD} \right)} \right);SC = 10a;CD = 3a\\

 \Rightarrow \sin \widehat {CSD} = \dfrac{{CD}}{{SC}} = \dfrac{{3a}}{{10}} = \dfrac{3}{{10}}\\

 \Rightarrow \widehat {CSD} = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{10}}} \right)\\

 \Rightarrow \left( {SC,\left( {SAD} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{10}}} \right)

\end{array}$

Vậy $\left( {SC,\left( {SAD} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{10}}} \right)$

2) Ta có:

$O,E$ lần lượt là trung điểm của $AC,AD$

$\to OE$ là đường trung bình của tam giác ACD.

$\to OE//CD; OE=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{3a}{2}$

$\to OE\bot (SAD)$ $\to E$ là hình chiếu của O trên (SAD)

$ \Rightarrow \left( {SO,\left( {SAD} \right)} \right) = \left( {SO,SE} \right) = \widehat {OSE}$

Lại có:

$\begin{array}{l}

\Delta SAO;\widehat {SAO} = {90^0};SA = 5a\sqrt 3 ;AO = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{5a}}{2}\\

 \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} + O{A^2}}  = \sqrt {{{\left( {5a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{5a}}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{5a\sqrt {13} }}{2}

\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}

\Delta SOE;\widehat {SEO} = {90^0}\left( {OE \bot \left( {SAD} \right)} \right);SO = \dfrac{{5a\sqrt {13} }}{2};OE = \dfrac{{3a}}{2}\\

 \Rightarrow \sin \widehat {OSE} = \dfrac{{OE}}{{SO}} = \dfrac{{\dfrac{{3a}}{2}}}{{\dfrac{{5a\sqrt {13} }}{2}}} = \dfrac{3}{{5\sqrt {13} }}\\

 \Rightarrow \widehat {OSE} = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{5\sqrt {13} }}} \right)\\

 \Rightarrow \left( {SO,\left( {SAD} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{5\sqrt {13} }}} \right)

\end{array}$

Vậy $\left( {SO,\left( {SAD} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{5\sqrt {13} }}} \right)$

3) Ta có:

$\begin{array}{l}

\left\{ \begin{array}{l}

BC \bot AB\\

BC \bot SA

\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\\

\left\{ \begin{array}{l}

AH \bot BC\\

AH \bot SA

\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)

\end{array}$

Từ H kẻ đường thẳng song song với AD và lấy trên đường thẳng đó điểm N sao cho $HN=AD$

Ta có:

$HN//AD;HN=AD \to AHND$ là hình bình hành.

$\to ND//AH; ND=AH$

Mà $AH\bot (SBC)\to DN \bot (SBC)$ $\to N$ là hình chiếu của D trên (SBC)

$ \Rightarrow \left( {SD,\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {SD,SN} \right) = \widehat {DSN}$

Lại có:

$\begin{array}{l}

\Delta SAB;\widehat {SAB} = {90^0};AH \bot SB = H;SA = 5a\sqrt 3 ;AB = 3a;SB = 2a\sqrt {21} \\

 \Rightarrow AH = \dfrac{{SA.AB}}{{SB}} = \dfrac{{5a\sqrt 3 .3a}}{{2a\sqrt {21} }} = \dfrac{{15a}}{{2\sqrt 7 }} \Rightarrow DN = \dfrac{{15a}}{{2\sqrt 7 }}

\end{array}$

$\begin{array}{l}

\Delta SAD;\widehat {SAD} = {90^0};SA = 5a\sqrt 3 ;AD = 4a\\

 \Rightarrow SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{{\left( {5a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}}  = a\sqrt {91} 

\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}

\Delta SDN;\widehat {DNS} = {90^0}\left( {DN \bot \left( {SBC} \right)} \right);SD = a\sqrt {91} ;ND = \dfrac{{15a}}{{2\sqrt 7 }}\\

 \Rightarrow \sin \widehat {DSN} = \dfrac{{DN}}{{SD}} = \dfrac{{\dfrac{{15a}}{{2\sqrt 7 }}}}{{a\sqrt {91} }} = \dfrac{{15}}{{14\sqrt {13} }}\\

 \Rightarrow \widehat {DSN} = \arcsin \left( {\dfrac{{15}}{{14\sqrt {13} }}} \right)\\

 \Rightarrow \left( {SD,\left( {SBC} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{{15}}{{14\sqrt {13} }}} \right)

\end{array}$

Vậy $\left( {SD,\left( {SBC} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{{15}}{{14\sqrt {13} }}} \right)$

4) Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}

BM \bot AC\\

BM \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)

\end{array} \right. \Rightarrow BM \bot \left( {SAC} \right)$

$ \Rightarrow M$ là hình chiếu của B trên (SAC)

$ \Rightarrow \left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {SB,SM} \right) = \widehat {BSM}$

Lại có:

$\begin{array}{l}

\Delta ABC;\widehat {ABC} = {90^0};AB = 3a;BC = 4a;AC = 5a;BM \bot AC = M\\

 \Rightarrow BM = \dfrac{{AB.AC}}{{AC}} = \dfrac{{3a.4a}}{{5a}} = \dfrac{{12}}{5}

\end{array}$

Và

$\begin{array}{l}

\Delta SAB;\widehat {SAB} = {90^0};SA = 5a\sqrt 3 ;AB = 3a\\

 \Rightarrow SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {5a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}}  = 2a\sqrt {21} 

\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}

\Delta SBM;\widehat {SMB} = {90^0}\left( {BM \bot \left( {SAC} \right)} \right);SB = 2a\sqrt {21} ;BM = \dfrac{{12}}{5}a\\

 \Rightarrow \sin \widehat {BSM} = \dfrac{{BM}}{{SB}} = \dfrac{{\dfrac{{12}}{5}a}}{{2a\sqrt {21} }} = \dfrac{6}{{5\sqrt {21} }}\\

 \Rightarrow \widehat {BSM} = \arcsin \left( {\dfrac{6}{{5\sqrt {21} }}} \right)\\

 \Rightarrow \left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{6}{{5\sqrt {21} }}} \right)

\end{array}$

Vậy $\left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{6}{{5\sqrt {21} }}} \right)$