Câu 1:

$\quad z = \dfrac{1 + i\sqrt3}{\sqrt3 + i}$

$\Leftrightarrow z = \dfrac{\left(1 + i\sqrt3\right)\left(\sqrt3 - i\right)}{\left(\sqrt3 + i\right)\left(\sqrt3 - i\right)}$

$\Leftrightarrow z = \dfrac{\sqrt3}{2} + \dfrac12i$

a) Ta có:

$r = |z| = \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac12\right)^2} = 1$

$\Rightarrow \begin{cases}\cos\theta = \dfrac{\sqrt3}{2}\\\sin\theta = \dfrac12\end{cases}$

Chọn $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ ta được:

$z = \cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}$

b) Áp dụng công thức $Moivre$ ta được:

$\quad z^{2018} = \cos\dfrac{2018\pi}{6} + i\sin\dfrac{2018\pi}{6}$

$\Leftrightarrow z^{2018} = \dfrac12 + \dfrac{\sqrt3}{2}i$

Câu 2:

$\quad A = \left(\matrix{1&2&-3\\3&2&-4\\2&-1&6}\right)$

a) $A^2 = A.A$

$\Leftrightarrow A^2 = \left(\matrix{1&2&-3\\3&2&-4\\2&-1&6}\right)\cdot \left(\matrix{1&2&-3\\3&2&-4\\2&-1&6}\right)$

$\Leftrightarrow A^2 = \left(\matrix{1&9&-11\\1&14&-17\\-1&2&-2}\right)$

b) Ta có:

$\det(A) = \left|\matrix{1&2&-3\\3&2&-4\\2&-1&6}\right| = 1$

$\Rightarrow A$ khả nghịch

Gọi $C = (c_{ij})$ là ma trận phụ hợp của ma trận $A$

$c_{11} = -4;\ c_{12} = -8;\ c_{13} = -7$

$c_{21} = 3;\ c_{22} = 6;\ c_{23} = 5$

$c_{31} = -2;\ c_{32} = -5;\ c_{33} = -4$

$\Rightarrow C^T = \left(\matrix{-4&3&-2\\-8&6&-5\\-7&5&-4}\right)$

Ta được:

$A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}\cdot C^T = \left(\matrix{-4&3&-2\\-8&6&-5\\-7&5&-4}\right)$

Câu 3:

$\quad \begin{cases}x + 3y + 2z - t = 7\\2x - y + 3z - 3t = 7\\x - y - 2z + t = -3\\x + y - z + 2t = -1\end{cases}$

Gọi $A,\overline{A}$ lần lượt là ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình đã cho

Ta có:

$\begin{array}{l}
\kern27pt \overline{A} = \left(\begin{array}{cccc|c}1&3&2&-1&7\\2&-1&3&-3&7\\1&-1&-2&1&-3\\1&1&-1&2&-1 \end{array}\right)\\
\ \xrightarrow{\begin{array}{l}r_2 - 2r_1 \to r_2\\r_3 - r_1\to r_3\\r_4 - r_1 \to r_4 \end{array}} \left(\begin{array}{cccc|c}1&3&2&-1&7\\0&-7&-1&-1&-7\\0&-4&-4&2&-10\\0&-2&-3&3&-8 \end{array}\right)\\
\xrightarrow{\begin{array}{l}r_3 - \tfrac47r_2\to r_3\\r_4 - \tfrac27r_2 \to r_4 \end{array}} \left(\begin{array}{cccc|c}1&3&2&-1&7\\0&-7&-1&-1&-7\\0&0&-\dfrac{24}{7}&\dfrac{18}{7}&-6\\0&0&-\dfrac{19}{7}&\dfrac{23}{7}&-6 \end{array}\right)\\
\xrightarrow{r_4 - \tfrac{19}{24}r_3 \to r_3} \left(\begin{array}{cccc|c}1&3&2&-1&7\\0&-7&-1&-1&-7\\0&0&-\dfrac{24}{7}&\dfrac{18}{7}&-6\\0&0&0&\dfrac{5}{4}&-\dfrac54 \end{array}\right)\\
\Rightarrow r(A) = r(\overline{A}) = 4
\end{array}$

$\Rightarrow$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ta được hệ phương trình tương đương:

$\left\{\begin{array}{rrrrl}x&+3y&+2z&-t&=7\\&-7y&-z&-t&=-7\\&&-24z&+18t&=-42&\\&&&5t&=-5 \end{array}\right.\Leftrightarrow \begin{cases}x  =1\\y=1\\z=1\\t=-1\end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x,y,z,t) = (1,1,1,-1)$

Câu 4:

Gọi $f_{11} = (x_1,x_2,x_3)$ là tọa độ của vector $f_1$ theo cơ sở $(1)$

$\Leftrightarrow x_1e_1 + x_2e_2 + x_3e_3 = f_1$

$\Leftrightarrow x_1(1;0;1) + x_2(0;-1;-1) + x_3(1;1;0) = (3;0;1)$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x_1 + x_3 = 3\\-x_2 + x_3 = 0\\x_1 - x_2 = 1\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x_1 = 2\\x_2 = 1\\x_3 = 1\end{cases}$

$\Rightarrow f_{11} = (2;1;1)$

$\Rightarrow {[f_1]}_1= \left(\matrix{2\\1\\1}\right)$

Tương tự, ta được:

${[f_2]}_1= \left(\matrix{3\\1\\1}\right)$

${[f_3]}_1= \left(\matrix{2\\-1\\1}\right)$

Vậy ma trận chuyển từ cơ sở $(1)$ sang cơ sở $(2)$ là:

$P_{(1) \to (2)} = \left(\matrix{2&3&2\\1&1&-1\\1&1&1}\right)$