Đáp án:

a)

Xét $\Delta $ADH và $\Delta $HEA có:

+ AH chung

+ góc ADH = góc HEA = 90 độ

+ góc DAH = góc EHA (cùng phụ với góc HAE)

=> $\Delta $ADH = $\Delta $HEA (ch-gn)

=> AD = HE và DH = EA

Tương tự ta cm được: $\Delta $ADE = $\Delta $EHA (c-g-c)

=> DE = AH

b)

Ta chứng minh được $\Delta $IDH = $\Delta $IEA (g-c-g)

=> ID = IE; IH = IA

Mà góc IDH = góc IHD

=> $\Delta $IDH cân tại I

=> ID = IH = IA = IE

c)

Ta có:

$\begin{array}{l}
\widehat {ADE} + \widehat {IAE} = {90^0}\\
\widehat {IAE} + \widehat {ACB} = {90^0}\\
 \Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {ACB}
\end{array}$

d)

Ta có:

$\begin{array}{l}
\widehat {NAE} + \widehat {MEA} = {90^0}\\
\widehat {MEA} + \widehat {ADE} = {90^0}\\
 \Rightarrow \widehat {NAE} = \widehat {ADE} = \widehat {ACB}\\
hay\,\widehat {NAC} = \widehat {NCA}
\end{array}$

=> Tam giác NAC cân tại N

=> NA = NC.

Xét 2 tam giác vuông: tam giác ADH và tam giác HEA có:

+ AH là cạnh chung

+ góc DAH = góc EHA (cùng phụ với góc HAE)

=> ΔADH = ΔHEA (cạnh huyền - góc nhọn)

=> AD = HE và DH = EA

Tương tự ta cm được: ΔΔADE = ΔΔEHA (c-g-c)

=> DE = AH

b)

Ta chứng minh được ΔIDH = ΔIEA (g-c-g)

=> ID = IE; IH = IA

Mà góc IDH = góc IHD

=> ΔΔIDH cân tại I

=> ID = IH = IA = IE

c)

Ta có:

ˆADE+ˆIAE=900ˆIAE+ˆACB=900

⇒ˆADE=ˆACBADE^+IAE^=900IAE^+ACB^=900

⇒ADE^=ACB^

d)

Ta có:

ˆNAE+ˆMEA=900ˆMEA+ˆADE=900

⇒ˆNAE=ˆADE=ˆACBhayˆNAC=ˆNCANAE^+MEA^=900MEA^+ADE^=900

⇒NAE^=ADE^=ACB^hayNAC^=NCA^

=> Tam giác NAC cân tại N

=> NA = NC (2 cạnh bên của tam giác cân).

Vậy : AN = CN (đpcm).