$x^2+x+6=y^2$

$4x^2+4x+24=4y^2$

$(2x+1)^2-(2y)^2=-23$

$(2x+1+2y)(2x+1-2y)=-23$

Do x, y nguyên nên (2x+1+2y), (2x+1-2y) là các số nguyên.

Mà -23 = -1.23 = 1.(-23) nên xét các TH:

TH1: 2x+1+2y=-1 và 2x+1-2y=23

Giải ra được x=5, y=-6 (tm)

TH2: 2x+1+2y=1 và 2x+1-2y=-23

Giải ra được x=-6, y=6 (tm)

Vậy (x;y) nguyên thoả mãn là (5; -6), (-6;6).

Nhân 4 vào 2 vế phương trình

⇔ 4x^2+4x+24=4y^2

⇔(2x+1-2y)(2x+1+2y)=-23

⇔$\left \{ {{2x+1-2y=-1} \atop {2x+1+2y=23}} \right.$ $\left \{ {{2x+1-2y=-23} \atop {2x+1+2y=1}} \right.$ $\left \{ {{2x+1-2y=23} \atop {2x+1+2y=-1}} \right.$ $\left \{ {{2x+1-2y=1} \atop {2x+1+2y=-23}} \right.$ 

⇔$\left \{ {{x=5} \atop {y=6}} \right.$ $\left \{ {{x=-6} \atop {y=-6}} \right.$ $\left \{ {{x=6} \atop {y=5}} \right.$ $\left \{ {{x=6} \atop {y=-6}} \right.$