Đáp án:

 Bạn tham khảo nhé!!!

Giải thích các bước giải:

a) Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

\(BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}}  = a\sqrt 5 .\)

Gọi M là trung điểm của BC

\( \Rightarrow AM = BM = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\) (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông).

Theo quy tắc hình bình hành ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AM} \)  

\(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AM} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = a\sqrt 5 .\)

b) \(2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MA}  =  - 3\overrightarrow {MB}  \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MA}  = 3\overrightarrow {BM} \)

=> vecto MA và vecto BM cùng chiều hay M nằm giữa A và B.

Khi đó chia AB thành 5 phần thì BM chiếm 2 phần còn MA chiếm 3 phần.

c) \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow M{A^2} + M{C^2} + 2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = M{B^2} + M{C^2} + 2\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} \\ \Leftrightarrow M{A^2} - M{B^2} = 2\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC}  - 2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} \\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right)\left( {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right) = 2\overrightarrow {MC} \left( {\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  =  - 2\overrightarrow {MC}  = 2\overrightarrow {CM} \,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Gọi I là trung điểm của AB ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI} \)

\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI}  = 2\overrightarrow {CM}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MI}  = \overrightarrow {CM}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 .\)

\( \Rightarrow M\) là trung điểm của IC.