Đáp án:

 Câu 1: chiều cao là 8a  (m)

Câu 2:

2 điểm nằm cùng phía trục tung: \(\frac{{ - 196}}{{15}} < m < \frac{{ - 56}}{{15}}\)

2 điểm nằm khác phía trục tung: \(m > \frac{{ - 56}}{{15}}\)

Giải thích các bước giải:

 Câu 1: y=\(\frac{1}{2}a{x^2}\)

chiều rộng của cổng là 8m -> 2x=8 <-> x=4

-> chiều cao: y=\(\frac{1}{2}a{.4^2} = 8a\)  m

Câu2: 

Pt hoành độ điểm chung là: 

\(\begin{array}{l}
 - {x^2} - 4x + 2 = \frac{{ - 3}}{7}m + \frac{2}{5}\\
 \leftrightarrow {x^2} + 4x - \frac{3}{7}m - \frac{8}{5} = 0
\end{array}\)

+) Để 2 đồ thị cắt nhau tại 2 điểm nằm về cùng phía trục tung 

<-> pt trên có 2 nghiệm cùng dấu 

\( \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
P > 0
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4 + \frac{3}{7}m + \frac{8}{5} > 0\\
 - \frac{3}{7}m - \frac{8}{5} > 0
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > \frac{{ - 196}}{{15}}\\
m < \frac{{ - 56}}{{15}}
\end{array} \right. \leftrightarrow \frac{{ - 196}}{{15}} < m < \frac{{ - 56}}{{15}}\)

+)Để 2 đồ thị cắt nhau tại 2 điểm nằm khác phía trục tung 

<-> pt trên có 2 nghiệm trái dấu 

\( \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
P < 0
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4 + \frac{3}{7}m + \frac{8}{5} > 0\\
 - \frac{3}{7}m - \frac{8}{5} < 0
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > \frac{{ - 196}}{{15}}\\
m > \frac{{ - 56}}{{15}}
\end{array} \right. \leftrightarrow m > \frac{{ - 56}}{{15}}\)