a) Do MA, MI, NI, NB là các tiếp tuyến của đường tròn (O)

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: MA = MI; NI = NB

$\widehat{O_1} = \widehat{O_2}$; $\widehat{O_3} = \widehat{O_4}$

⇒ $\widehat{O_2} + \widehat{O_3}= \widehat{O_1} + \widehat{O_4}=\dfrac{180^o}{2}=90^o$ (tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù).

$⇒ \widehat{OCD} = 90^o$  

b) Ta có: MA = MI; NI = NB (chứng minh ở câu a)

Ta có: MN = MI + NI

$\Rightarrow $ MN=MA+NB (đpcm)  

c) Trong tam giác vuông MON, OI Là đường cao thuộc cạnh huyền

$OI^2 = MI.IN$

Mà MA = MI; NI = NB

Suy ra AM.BN=MI.IN=$R^2$ (đpcm)  

d) Do $AM\parallel NB$ theo định lý Ta-lét ta có:

$\dfrac{KM}{KB}=\dfrac{KA}{KN}=\dfrac{AM}{BN}=\dfrac{MI}{IN}$

$\Rightarrow $ ta được $\dfrac{KM}{KB}=\dfrac{MI}{IN}$

$\Rightarrow IK\parallel BN$ (định lý Ta-lét đảo)

có $BN\bot AB\Rightarrow IK\bot AB$ (đpcm)  

e) Ta có: $IK\bot AB\Rightarrow HK\bot AB\Rightarrow HK\parallel BN$ theo định lý Ta-lét ta có:

$\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AK}{AN}=\dfrac{HK}{BN}$ (1)

tương tự với $IK\parallel BN$ ta có: $\dfrac{MK}{MB}=\dfrac{MI}{MN}=\dfrac{IK}{BN}$ (2)

Ta lại có: $\dfrac{KM}{KB}=\dfrac{MI}{IN}$ (lấy mẫu cộng tử, tính chất dãy tỉ số bằng nhau $\Rightarrow \dfrac{KM}{KB}=\dfrac{AK}{AN}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta được $\dfrac{HK}{BN}=\dfrac{IK}{BN}$ $\Rightarrow IK=HK$ (đpcm)  

f) $S_{ABNM}=\dfrac{(AM+BN)AB}{2}=\dfrac{MN.AB}{2}$

Do $AB$ cố định để $S_{ABNM}$ đạt nhỏ nhất thì $NM$ nhỏ nhất.

Mà NM nhỏ nhất khi $NM=AB\Rightarrow NM\parallel AB\Rightarrow I$ nằm chính giữa cung $AB$

Vậy khi $I$ năm chính giữa cung $AB$ thì $S_{ABNMmin}=\dfrac{AB^2}{2}$ .