a) 
Xét ΔABC có
+ H là trung điểm AB
+ I là trung điểm BC
=> HI là đường trung bình ΔABC
=> $\left \{ {{HI//AC} \atop {HI=AC:2}} \right.$ 
Xét ΔACD có
+ K là trung điểm AD
+ N là trung điểm DC
=> KN là đường trung bình ΔACD
=> $\left \{ {{KN//AC} \atop {KN=AC:2}} \right.$ 
=> HINK là hình bình hành
Gọi giao điểm AC và BD là E
=> AC⊥BD tại E
Gọi giao điểm BD và HI là F
=> EFH=90
Xét ΔABD có
+ H là trung điểm AB
+ K là trung điểm AD
=> KH là đường trung bình ΔABD
=> HK//BD
=> FHK=90
=> HINK là hình chữ nhật

Em tham khảo nha:

Hình em tự vẽ nhé 

------------------------------------

Ta có ABCD là hình thoi

Nên AB=BC=CD=AB

AB// CD và BC//AD

Nối A và C

Xét tam giác ABC có:

HI là đường trung bình(H là trung điểm AB, I là trung điểm BC)

=>HI//AC

Xét tam giác ACD có:

KN là đường trung bình(K là  trung điểm AD, N là trung điểm CD)

=>KN//AC

=>Hi//AC//KN

=> HI//KN

Chứng minh tương tự với hai tam giác ABD và CDB

=>HK//IN

=>HIKN là hình bình hành(1)

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo

=> góc BOC bằng 90 độ

lại có HK//BD

=>góc IHK= 90 độ (2)

Từ (1) và (2) => HINK là hình chữ nhật.