a) Ta có: $AE=DE=\dfrac{1}{2}AB$ và $AE\parallel DF$

$\Rightarrow $ tứ giác $AEFD$ là hình bình hành

Có thêm $AE=AD=\dfrac{1}{2}AB$

$\Rightarrow AEFD$ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)

$AE\parallel FC$ và $AE=FC$ (vì cùng$=\dfrac{1}{2}AB)$

$\Rightarrow AECF$ là hình bình hành

b) Tứ giác $AECF$ là hình bình hành nên $EN\parallel MF$ (1)

Chứng minh tương tự câu a tứ giác $EBFN$ là hình bình hành

$\Rightarrow ME\parallel FN$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $EMFN$ là hình bình hành (3)

Tứ giác $AEFD$ là hình thoi nên suy ra $AF\bot DE$

$\Rightarrow \widehat{EMF}=90^o$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $EMFN$ là hình chữ nhật

c) Để $EMFN$ là hình vuông thì $ME=MF$

$\Rightarrow 2ME=2MF\Rightarrow DE=AF$

Khi đó $AEFD$ là hình vuông

$\Rightarrow \widehat{DAE}=90^o$

Vậy tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=2AD$ thì $EMFN$ là hình vuông.