a) Xét $\Delta ABF$ và $\Delta AEC$ có:

$AB=AE$ (giả thiết)

$\widehat{FAB}=\widehat{CAE}$ (cùng phụ với $\widehat{BAC}$)

$AF=AC$ (giả thiết)

$\Rightarrow \Delta ABF=\Delta AEC$ (c.g.c)

$\Rightarrow BF=EC$ (hai cạnh tương tứng)

b) Ta có:

$\widehat{BAE}+\widehat{FAC}=90^o+90^o=180^o$

$\Rightarrow\widehat{BAC}+\widehat{CAE}+\widehat{BAC}+\widehat{FAB}=180^o$

$\Rightarrow \widehat{BAC}+\widehat{CAE}+\widehat{FAB}=180^o-\widehat {BAC}$

hay $\widehat{FAE}=180^o-\widehat{BAC}$ (1)

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta NCM$ có:

$AM=NM$ (giả thiết)

$\widehat{AMB}=\widehat{NMC}$ (đối đỉnh)

$BM=CM$ (do M là trung điểm của BC)

$\Rightarrow\Delta ABM=\Delta NCM$ (c.g.c)

$\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{NCM}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow\widehat{ACN}=\widehat{ACM}+\widehat{NCM}$

$=\widehat{ACM}+\widehat{ABM}$

$=180^o-\widehat{BAC}$ (tính chất tổng 3 góc trong một tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{FAE}=\widehat{ACN}$ $(=180^o-\widehat{BAC})$

$\Delta ABM=\Delta NCM\Rightarrow AB=NC=AE$

Xét $\Delta AFE$ và $\Delta CAN$ có:

AF=AC (giả thiết)

$\widehat{FAE}=\widehat{ACN}$ (chứng minh trên)

$AE=CN$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow\Delta AFE=\Delta CAN$ (c.g.c)

$\Rightarrow EF=NA=2AM$