a) Do N, I là trung điểm AC, BC nên NI là đường trung bình của tam giác ABC.

Vậy NI//AB, suy ra NI//AM.

CMTT ta có MI//AN.

Xét tứ giác AMIN có MI//AN và NI//AM. Vậy tứ giác này là hình bình hành.

b) Để tứ giác AMIN là hình thoi thì $AI \perp MN$, lại có MN là đường trung bình của tam giác nên $MN//BC$.

Suy ra $AI \perp BC$.

Vậy trung tuyến AM vuông góc với BC, suy ra tam giác ABC cân.

Để tứ giác AMIN là hình chữ nhật thì $\widehat{BAC} = 90^{\circ}$. Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Để tứ giác AMIN là hình vuông thì nó vừa phải là hình thoi, vừa phải là hình chữ nhật nên tam giác ABC vuông cân tại A.

c) Do D đxung vs M qua N nên MN = ND.

Xét tam giác ANM và tam giác DNC ta có

$AN = NC$, $|widehat{ANM} = \widehat{DNC}$ (đối đỉnh), $MN = ND$.

Vậy tam giác AMN = tam giác CND. 

Do đó $\widehat{AMN} = \widehat{CDN}$. Mà 2 góc ở vị trí so le trong nên $AM //CD$.

Lại có 2 tam giac AMN = tam giác CND nên AM = CD.

Xét tứ giác AMCD có AM//CD và AM = CD. Suy ra tứ giác AMCD là hình bình hành.

Vậy $AM//CD$.

d) Gọi AI giao MN tại P, NC giao ID tại Q.

Khi đó P là trung điểm AI.

Do $AM//CD$ và $AM//NI$ nên $NI//CD$.

Lại có $ND//CI$ nên tứ giác NICD là hình bình hành.

Suy ra $Q$ là trung điểm ID.

Xét tam giác AID có AQ, DP là 2 đường trung tuyến giao nhau tại N.

Suy ra N là trọng tâm tam giác AID.

Vậy IN là trung tuyến của tam giác AID, suy ra NI đi qua trung điểm AD.