Đáp án:

a. $\Diamond AIHK$ có $\widehat{IAK}=\widehat{AKH}=\widehat{AIH}=90^{\circ}$

$\to \Diamond AIHK$ là hình chữ nhật

b. Vì $\Delta DAH$ cân tại A

$\to AB$ là phân giác của $\widehat{HAD}$

$\to \widehat{BAH}=\widehat{BAD}$
$\Delta AEH$ cân tại A

$\to AC$ là phân giác của $\widehat{EAH}$

$\to \widehat{CAH}=\widehat{CAD}$

mà $\widehat{CAH}+\widehat{BAH}=90^{\circ}$

$\to \widehat{ADB}+\widehat{CAE}=90^{\circ}\to \widehat{DAE}=180{^\circ}$

$\to A, D,E$ thẳng hàng

c.  Vì $\Delta BDH$ cân tại B $\to BD=BH$

$\Delta CEH$ cân tại C $\to CH=CE$

$\to BH+CH=BD+CE$

$\to BC=BD+CE$
d. Dễ chứng minh: $\Delta AHK=AEK$ do AK chung, $AH=AE; HK=EK$

$\to S_{AEK}=S_{AHK}$

$\to S_{AHK}=\dfrac 12S_{AEH}$

$\Delta ADI=\Delta AHI(c.c.c)$

$\to S_{ADI}=S_{AHI}$

$\to S_{AHI}=\dfrac 12S_{ADH}$

$\to S_{AHI}+S_{AHK}=\dfrac 12S_{DHE}$

$\to S_{DHE}=2a$ 

$a)$ Xét tứ giác $AIHK$ có:

$IAK$ $=$ $90^{0}$  $($ $gt$ $)$

$AKH$ $=$ $90^{0}$  $($ $D$ đối xứng với $H$ qua $AC$ $)$

$AIH$ $=$ $90^{0}$  $($ $E$ đối xứng với $H$ qua $AB$ $)$

$⇒$ Tứ giác $AIHK$ là hình chữ nhật

$b)$ Có $ADH$ cân tại $A$ $($ Vì $AB$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến $)$

$⇒$ $AB$ là phân giác của $DAH$ hay $DAB$  $=$  $HAB$

Có $AEH$ cân tại $A$ $($ $AC$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến $)$

$⇒$ $AC$ là phân giác của $EAH$ hay $DAC$  $=$  $HAC.$

Mà $BAH$ $+$  $HAC$  $=$ $90^{0}$ nên $BAD$ $+$  $EAC$ $=$ $90^{0}$ $⇒$ DAE $=$ $180^{0}$

$⇒$ $3$ điểm $D, A, E$ thẳng hàng $(đpcm).$

$c)$ Có $BC$ $=$ $BH$ $+$ $HC$ $($ $H$ thuộc $BC$ $).$

Mà $BDH$ cân tại $B$ $⇒$ $BD$ $=$ $BH$; $CEH$ cân tại $C$ $⇒$ $CE$ $=$ $CH.$

Vậy $BH + CH$  $=$ $BD + CE$ $⇒$ $BC$ $=$ $BH + HC$ $=$ $BD + CE.$ $(đpcm)$

$d)$ Có: $AHI$ $=$ $ADI$ $(c. c. c)$ suy ra $S_{AHI}$ $=$ $S_{ADI}$ $⇒$ $S_{AHI}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ $S_{ADH}$

Có: $AHK$ $=$ $AEK$ $(c. c. c)$ suy ra $S_{AHK}$ $=$ $S_{AEK}$ $⇒$ $S_{AHK}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ $S_{AEH}$

$⇒$ $S_{AHI}$ $+$ $S_{AHK}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ $S_{ADH}$ $+$  $\dfrac{1}{2}$ $S_{AEH}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ $S_{DHE}$

hay $S_{DHE}$ $=$ $2$ $S_{AIHK}$ $=$ $2a$ $(đvdt)$