a)

Do $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của cạnh BC, CA, AB

nên $AM, BN, CP$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$

$G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$

$\Rightarrow BG=\dfrac23.BN$ (tính chất)

$GD=2GM=2.\dfrac13.AM=\dfrac23.AM$

Xét $\Delta BMD$ và $\Delta CMG$ có:

$BM=CM$ (do M là trung điểm của BC)

$\widehat{BMD}=\widehat{CMG}$ (đối đỉnh)

$MD=MG$ (giả thiết)

$\Rightarrow\Delta BMD=\Delta CMG$ (c.g.c)

$\Rightarrow BD=CG=\dfrac23.CP$

$\widehat{MBD}=\widehat{MCG}$ mà chúng ở vị trí so le trong nên $BD//GC$

b)

$\Delta BGD$ có $M$ là trung điểm của $GD$

$\Rightarrow BM$ là đường trung tuyến của $\Delta BGD$
$BM=\dfrac12.BC$
Gọi $J$ là trung điểm của $BG\Rightarrow JG=\dfrac12.BG=\dfrac12.\dfrac23.BN=\dfrac13.BN$

ta cũng có $GN=\dfrac13.BN$

$\Rightarrow GJ=GN=\dfrac13.BN$

$\widehat{AGN}=\widehat{DGJ}$ (đối đỉnh)

$AG=DG=\dfrac23.AM$

$\Rightarrow\Delta AGN=\Delta DGJ$ (c.g.c)

$\Rightarrow AN=DJ=\dfrac12.AC$ 

Xét $\Delta BGP$ và $\Delta GBK$ có:

$GP=BK=\dfrac13.CP$

$\widehat{BGP}=\widehat{GBK}$ (hai góc ở vị trí so le trong)

$BG$ chung

$\Rightarrow \Delta BGP=\Delta GBK$ (c.g.c)

$\Rightarrow BP=GK=\dfrac12.AB$.