Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a) Xét tứ giác AHIK, ta có:

$\widehat {A} = 90^o$ (gt)

$\widehat {AIH} = 90^o$ (HI $\bot$ AB)

$\widehat {AKH} = 90^o$ (HK $\bot$ AC)

=> AHIK là HCN

b) Xét tam giác BIH vuông tại I, có IM là đường trung tuyến ứng với BH (M là trung điểm của BH)

=> IM = $\frac{1}{2}$ BH = MH

Ta có:

AHIK là HCN

AH cắt IK tại O

=> AH = IK, O là trung điểm của AH và IK

=> OH = OA = OI = OK

Xét $\Delta$ MIO và $\Delta$ MHO, ta có:

MO là cạnh chung

MI = MH (cmt)

OI = OH (cmt)

=> $\Delta$ MIO = $\Delta$ MHO (c - c - c)

c) Ta có:

IB // KH (AI // KH, I $\in$ AB)

=> $\widehat {ABH} = \widehat {KHN}$ (2 góc đồng vị) 

Ta có:

IM = MH (cmt)

MB = MH (M là trung điểm của BH)

=> IM = MB

=> $\Delta$ IMB cân tại M

=> $\widehat {IBM} = \widehat {IMB}$

Xét tam giác KCH vuông tại K, có KN là đường trung tuyến ứng với HC (N là trung điểm của HC)

=> KN = $\frac{1}{2}$ CH = NH

=> $\Delta$ KNH cân tại N

=> $\widehat {KNH} = \widehat {KHN}$

Ta có:

$\widehat {IBH} = \widehat {KHN}$ ($\widehat {ABH} = \widehat {KHN}$, I $\in$ AB)

$\widehat {IBH} = \widehat {IMB}$ ($\widehat {IBM} = \widehat {IMB}$, M $\in$ BH)

$\widehat {KHN} = \widehat {KNH}$ (cmt)

=>$\widehat {IMB} = \widehat {KNH}$

Mà $\widehat {IMB}$ và $\widehat {KNH}$ là 2 góc ở vị trí đồng vị

=> IM // KN

Ta có:

$\Delta$ MIO = $\Delta$ MHO (cmt)

=> $\widehat {MIO} = \widehat {MHO} = 90^o$ (2 góc tương ứng)

Xét tứ giác MNKI, ta có:

IM // KN

=> MNKI là hình thang

Mà $\widehat {MIK} = 90^o$ ($\widehat {MIO} = 90^o$, O $\in$ IK)

=> MNKI là hình thang vuông