Bài 1:

$P = 70  - 0,005Q$

$\Rightarrow TR = 70Q - 0,005Q^2$

$\Rightarrow MR = 70 - 0,01Q$

$TC = 20Q + 350$

$\Rightarrow MC = 20$

Doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận tại mức sản lượng thỏa:

$\quad MR = MC$

$\Leftrightarrow 70 - 0,01Q = 20$

$\Leftrightarrow Q = 5000$

$\Rightarrow P = 45$

$\Rightarrow \begin{cases}TR = 225.000\\TC = 100.350\end{cases}$

$\Rightarrow \Pi_{\max} = 225.000 - 100.350 = 124.650$

Bài 2:

$Q_1 = 1300 - P_1 \Leftrightarrow P_1 = 1300 - Q_1$

$Q_2 = 675 - 0,5P_2 \Leftrightarrow P_2 = 1350 - 2Q_2$

$\Rightarrow TR = 1300Q_1 - Q_1^2 + 1350Q_2 - 2Q_2^2$

Lợi nhuận thu được:

$\quad \Pi = TR - TC$

$\Leftrightarrow \Pi = 1300Q_1 - Q_1^2 + 1350Q_2 - 2Q_2^2 - (Q_1^2 + 3Q_1Q_2 + Q_2^2)$

$\Leftrightarrow \Pi = -2Q_1^2 + 1300Q_1 - 3Q_1Q_2 - 3Q_2^2 + 1350Q_2$

Tọa độ điểm dừng (điểm nghi ngờ/điểm tới hạn) là nghiệm của hệ phương trình:

$\quad \begin{cases}\Pi_{Q_1}' = 0\\\Pi_{Q_2}' = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}-4Q_1 -3Q_2 + 1300 = 0\\-3Q_1 - 6Q_2 + 1350 = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}Q_1 = 250\\Q_2 = 100\end{cases}$

$\Rightarrow \Pi$ có một điểm dừng $M(250;100)$

Đặt $\begin{cases}A = \Pi_{Q_1^2}'' = -4\\B = \Pi_{Q_1Q_2}'' = -3\\C=\Pi_{Q_2^2}'' = -6\end{cases}$

$\Rightarrow B^2 - AC =  -27 <0$ và $A = -4 <0$

$\Rightarrow \Pi$ đạt cực đại tại $M(250;100)$

Hay lợi nhuận đạt cực đại tại

$\begin{cases}Q_1 = 250\\Q_2 = 100\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}P_1 = 1050\\P_2 = 1150\end{cases}$