Bài 1:

Ta có: $M,D$ đối xứng nhau qua $AB$ tại điểm đối xứng $E$

$\Rightarrow DE\bot AB\Rightarrow \widehat{DEA}=90^o$

Và $D,N$ đối xứng nhau qua $AC$ tại điểm đối xứng $F$

$\Rightarrow DF\bot AC\Rightarrow \widehat{DFA}=90^o$

Tứ giác  $AEDF$ có $\widehat{EAF}=\widehat{DEA}=\widehat{DFA}=90^o\Rightarrow AEDF$ là hình chữ nhật.

b) Tứ giác $ADBM$ có 2 đường chéo $AB$ và $MD$ cắt nhau tại trung điểm $E$ của mỗi đường

nên $ADBM$ là hình bình hành

Ta lại có: $\Delta ABC$ là tam giác vuông trung tuyến $AD$ ứng với cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow AD=\dfrac{1}{2}BC=BD=DC$

Tứ giác $ADBM$ là hình bình hành có $AD=DB\Rightarrow ADBM$ là hình thoi.

Chứng minh tương tự $ADCN$ có 2 đường chéo $AC$ và $DN$ cắt nhau tại trung điểm $F$ của mỗi đường và $AD=DC$

Nên $ADCN$ là hình thoi.

c) Ta có $ADBM$ là hình thoi suy ra $AM\parallel =BD$

Tứ giác $ADCN$ là hình thoi suy ra $AN\parallel=DC$

$\Rightarrow AM\parallel AN$ (vì $BD,DC$ là một đường thẳng: đường thẳng $BC$)

$\Rightarrow A,M,N$ là thẳng hàng

Lại có $AM=AN=(BD=DC)$

$\Rightarrow A$ là trung điểm cạnh $MN$

$\Rightarrow M$ đối xứng $N$ qua $A$ (đpcm).

Bài 2:

a) Ta có: $AE=DF$ (vì $=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}DC$)

Mà $AE\parallel DF$

$\Rightarrow AEFD$ là hình bình hành

Ta lại có: $AD=AE$ ($=\dfrac{1}{2}AB$)

$\Rightarrow AEFD$ là hình thoi.

Chứng minh tương tự $AE\parallel FC$

$\Rightarrow AECF$ là hình bình hành.

b) Chứng minh tương tự $EB\parallel DF\Rightarrow EBFD$ là hình bình hành

$\Rightarrow DE\parallel FB\Rightarrow ME\parallel FN$

Và tứ giác $AECF$ là hình bình hành $\Rightarrow MF\parallel EN$

$\Rightarrow MENF$ là hình bình hành (vì có 2 cặp cạnh đối diện song song)

Tứ giác $AEFD$ là hình thoi $\Rightarrow AF\bot DE\Rightarrow \widehat{EMF}=90^o$

$\Rightarrow MENF$ là hình bình hành có $\widehat{EMF}=90^o$

$\Rightarrow MENF$ là hình chữ nhật (đpcm).

c) Để $EMFN$ là hình chữ nhật thì $ME=MF$

$\Rightarrow 2ME=2MF\Rightarrow DE=AF$

$\Rightarrow $ hình thoi $AEFD$ có hai đường chéo bằng nhau

$\Rightarrow AEFD$ là hình vuông

$\Rightarrow \widehat{EAD}=90^o$

$\Rightarrow \widehat{BAD}=90^o$

$\Rightarrow ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=2AD$.

Bài 3:  

Nếu $\widehat{BAC}=\widehat{BDC}$

Ta có: $\widehat{IOA}=\widehat{ODK}$ (vì cùng phụ với 2 góc đối đỉnh là $\widehat{IOB}=\widehat{DOK}$)

Mà $\widehat{IAO}=\widehat{ODK}$ (giải thiết)

$\Rightarrow \widehat{IOA}=\widehat{IAO}$ (vì $=\widehat{ODK}$)

$\Rightarrow \Delta IAO$ cân đỉnh $I$

$\Rightarrow IA=IO$ (*)

$\widehat{IBO}=\widehat{IOB}$ (cùng phụ với 2 góc bằng nhau $\widehat{IAO}=\widehat{IOA}$)

$\Rightarrow \Delta IOB$ cân đỉnh $I\Rightarrow IB=IO$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $OI=AI=IB$

$\Rightarrow I$ là trung điểm $AB$ (đpcm).

Ngược lại $I$ là trung điểm của $AB$

$\Delta AOB$ vuông tại $O$ có trung tuyến $OI$ ứng với cạnh huyền $AB$

$\Rightarrow OI=IB\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{O_1}$ mà $\widehat{O_1}=\widehat{O_3}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{O_3}$

$\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{ODC}$ (vì cùng phụ với 2 góc bằng nhau $\widehat{B_1}=\widehat{O_3}$)

$\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{BDC}$ (đpcm)

Bài 4:

a) $EB\parallel DF$

Và $EB=DF$ $(=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}DC)$

$\Rightarrow DEBF$ là hình bình hành

b) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, gọi $O=AC\cap BD$

$\Rightarrow O$ là trung điểm cạnh $AC$ và $BD$

Tứ giác $EBFD$ là hình bình hành chứng minh trên

Có $O$ là trung điểm cạnh $BD\Rightarrow O$ là trung điểm cạnh $EF$

Vậy $AC,DB,EF$ cắt nhau tại một điểm là điểm $O$ trung điểm của mỗi đường.

c) Tứ giác $DEBF$ là hình bình hành $\Rightarrow ME\parallel FN$

Xét $\Delta AEM$ và $\Delta CFN$ có:

$\widehat{EAM}=\widehat{FCN}$ (so le trong)

$AE=CF$

$\widehat{NFC}=\widehat{MEA}$ (vì $=\widehat{ABF }$)

$\Rightarrow $$\Delta AEM=\Delta CFN$ (g.c.g)

$\Rightarrow ME=NF$

$\Rightarrow EMFN$ có $ME\parallel FN$

$\Rightarrow EMFN$ là hình bình hành.