Giải thích các bước giải:

a, Ta có: \(\widehat{DAE}=\widehat{ADM}=\widehat{MEA}=90^o\Rightarrow ADME\) là hình chữ nhật

nên \(AD=ME\Rightarrow DI=KE\) và \(DI//KE\) nên DIEK là hình bình hành

b, Theo chứng minh a, ta có ADME là hình chữ nhật nên AM và DE cắt nhau  tại trung điểm N của DE

DIEK là hình bình hành nên DE và KI cắt nhau tại trung điểm N của DE

Suy ra DE, KI, AM đồng quy tại trung điểm N của DE

c,Theo chứng minh trên ta có: \(\triangle AHM\) vuông tại H có N là trung điểm của AM nên \(HN=\frac{AM}{2}=\frac{DE}{2}\)

Tam giác DHE có \(HN=\frac{DE}{2}\) nên tam giác DHE vuông tại H nên \(\widehat{DHE}=90^o\)

d, 

1, Để ABKE là hình chữ nhật thì \(\widehat{ABK}=90^o\) và khi đó:\(AE=BK\)

Ta có:\(ME=MK; DM\perp ME\) nên DM là trung trực của KE nên \(DK=DE\)

Hai tam giác vuông DAE và DBK có: \(AE=BK; DE=DK\) nên \(\triangle DAE=\triangle DBK\) (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

\(\Rightarrow BD=AD\) hay khi đó D là trung điểm của AB

Mà DM //AC nên DM là đường trung bình của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC

Vậy khi M là trung điểm của BC thì ABKE là hình chữ nhật

2, Để \(DIEK\) là hình thoi thì \(DK=KE\), mà \(DK=DE\Rightarrow DE=DK=KE\Rightarrow \triangle DEK\) đều nên \(\widehat{KDE}=60^o\Rightarrow \widehat{MDE}=\frac{1}{2}\widehat{KDE}=30^o\Rightarrow \widehat{MAC}=30^o\)

Vậy khi M tạo với AC góc \(30^o\) thì DIEK là hình thoi

3, Để ADME là hình vuông thì AM là phân giác của góc BAC nên M là giao điểm của BC và phân giác của góc BAC

e, Ta có DE=AM nên để DE nhỏ nhất thì AM nhỏ nhất

Ta có: \(AM\ge AH\Rightarrow Min AM=AH\)

Vậy DE nhỏ nhất khi M trùng H

f, Theo chứng minh trên ta có N là trung điểm của IK

Từ N kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB và AC tại P và Q. 

Trong tam giác ABM có N là trung điểm của AM và NP//BM nên P là trung điểm của AB

Trong tam giác AMC có N là trung điểm của AM và NQ//MC nên Q là trung điểm của AC

Suy ra  PQ là đường trung bình của tam giác ABC

Vậy khi M di chuyển trên BC thì N di chuyển trên đường trung bình của tam giác ABC song song với BC