Bài 1

Xét ptrinh hoành độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$ ta có

$x + 1 = 2$

$<-> x = 1$

Vậy tọa độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là $(1, 2)$

Để 3 đường thẳng đồng quy thì $d_3$ cũng phải đi qua giao điểm của $d_1$ và $d_2$. Do đó $d_3$ đi qua $(1,2)$. Tức là

$2 = (2m+3).1 -1$

$<-> m= 0$

Vậy $m = 0$ thì 3 đường thẳng đồng quy.

Bài 2

Gọi A, B là giao điểm của $d$ với Ox, Oy. Khi đó, ta có

$A(-\dfrac{2}{m^2+1},0),  B(0,2)$

Hạ $OH \perp AB$.

KHi đó, OH là khoảng cách từ gốc tọa độ đến $d$.

Có tam giác OAB vuông tại O. Áp dụng hệ thức lượng ta có

$\dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{1}{OA^2} + \dfrac{1}{OB^2}$

$<-> \dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{(m^2+1)^2}{4} + \dfrac{1}{4}$

$<-> \dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{m^4 + 2m^2 + 2}{4}$

$<-> OH^2 = \dfrac{4}{m^4 + 2m^2 + 2}$

$<-> OH = \sqrt{\dfrac{4}{m^4 + 2m^2 + 2}}$

Để OH lớn nhất thì $\dfrac{4}{m^4 + 2m^2 + 2}$ lớn nhất, hay $m^4 + 2m^2 + 2$ nhỏ nhất.

Ta có

$m^4 + 2m^2 + 2 = (m^2+1)^2 + 1 \geq 1 +1 = 2$

Dấu "=" xảy ra khi $m = 0$. 

Vậy để khoảng cách từ gốc tọa độ tới d là lớn nhất thi $m = 0$.

Đáp án: lớn nhất là can bậc hai của 2 khi m=0

Giải thích các bước giải: