Gọi số người của đơn vị đó là `a` `(`  với `a ∈ N^{*} ; a ≤ 1000  )`

Vì khi xếp thành hàng `20 , 25 , 30` người thì  thiếu lần lượt là `5, 10, 15` người nên số người đó khi chia `20 , 25 , 30` đều dư `15.`

`=> a - 15` $\vdots$ `20 , 25 , 30`

`=> a - 15 ∈ BC ( 20 , 25 , 30 )`

Ta có `:`

`20 = 2^2 . 5`

`25 = 5^2`

`30 = 2 . 3 . 5`

`=> BCNN ( 20 , 25 , 30 ) = 2^2 . 5^2 . 3 = 300`

`=> a - 15 ∈ B ( 300 )`

`=> a - 15 ∈ { 0 ; 300 ; 600 ; 900 ; 1200 ; .... }`

`=> a ∈ { 15 ; 315 ; 615 ; 915 ; 1215 ; .... }`

Mà `a ≤ 1000`

`=> a ∈ { 15 ; 315 ; 615 ; 915 }`

Vì số người của đơn vị đó khi xếp hàng `41` người thì vừa đủ 

`=> a`  $\vdots$ `41`

Mà `a ∈ { 15 ; 315 ; 615 ; 915 }`

`=> a = 615 (` vì `615` $\vdots$ `41` `)`

Vậy số người của đơn vị đó là `615` người

Do khi xếp hàng 20, 25, 30 đều thiếu 5, 10, 15 người nên khi đó số người khi chia 20, 25, 30 đều dư 15.

Gọi $x$ là số người trong đơn vị đó, do đó $x - 15$ chia hết cho 20, 25, 30.

Vậy $x - 15$ là bội chung của 20, 25, 30 và do đó là bội của BCNN(20, 25, 30).

Ta có

$BCNN$ $(20,25,30)$

Do đó $x - 15 = 300 k$  với $k$ là một số tự nhiên nào đó.

Lại có số người ko quá 1000 nên

$x - 15 < 1000$

$\Leftrightarrow$ $300 k$ < $1000$

$\Leftrightarrow$ $k$ $\le$ $3$

Vậy : $k$ = $1 , 2 , 3$

Vậy số quân sẽ là :

$300$ $\times$ $1$ = $315,300$ $\times$ $2$ + $15$ = $615,300$ $\times$ $3$ + $15$ = $915$

Do số quân chia hết cho 41 mà chỉ có 615 chia hết cho 41.

Vậy số quân là 615 người.