$a)$ Xét tứ giác $AIHK$ có:

$IAK$ $=$ $90^{0}$  $($ $gt$ $)$

$AKH$ $=$ $90^{0}$  $($ $D$ đối xứng với $H$ qua $AC$ $)$

$AIH$ $=$ $90^{0}$  $($ $E$ đối xứng với $H$ qua $AB$ $)$

$⇒$ Tứ giác $AIHK$ là hình chữ nhật

$b)$ Có $ADH$ cân tại $A$ $($ Vì $AB$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến $)$

$⇒$ $AB$ là phân giác của $DAH$ hay $DAB$  $=$  $HAB$

Có $AEH$ cân tại $A$ $($ $AC$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến $)$

$⇒$ $AC$ là phân giác của $EAH$ hay $DAC$  $=$  $HAC.$

Mà $BAH$ $+$  $HAC$  $=$ $90^{0}$ nên $BAD$ $+$  $EAC$ $=$ $90^{0}$ $⇒$ DAE $=$ $180^{0}$

$⇒$ $3$ điểm $D, A, E$ thẳng hàng $(đpcm).$

$c)$ Có $BC$ $=$ $BH$ $+$ $HC$ $($ $H$ thuộc $BC$ $).$

Mà $BDH$ cân tại $B$ $⇒$ $BD$ $=$ $BH$; $CEH$ cân tại $C$ $⇒$ $CE$ $=$ $CH.$

Vậy $BH + CH$  $=$ $BD + CE$ $⇒$ $BC$ $=$ $BH + HC$ $=$ $BD + CE.$ $(đpcm)$

$d)$ Có: $AHI$ $=$ $ADI$ $(c. c. c)$ suy ra $S_{AHI}$ $=$ $S_{ADI}$ $⇒$ $S_{AHI}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ $S_{ADH}$

Có: $AHK$ $=$ $AEK$ $(c. c. c)$ suy ra $S_{AHK}$ $=$ $S_{AEK}$ $⇒$ $S_{AHK}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ $S_{AEH}$

$⇒$ $S_{AHI}$ $+$ $S_{AHK}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ $S_{ADH}$ $+$  $\dfrac{1}{2}$ $S_{AEH}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ $S_{DHE}$

hay $S_{DHE}$ $=$ $2$ $S_{AIHK}$ $=$ $2a$ $(đvdt)$