Bài 27 Trang 167 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

 Bài 27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị hàm số \(y = {\cos ^2}x,\) trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = \pi ;\)
b) Đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x \) và \(y = \root 3 \of x ;\)
c) Đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) và \(y = {x^4} - 2{x^2}\) trong miền \(x \ge 0.\)

Hướng dẫn giải

a) \(S = \int\limits_0^\pi  {{{\cos }^2}xdx = {1 \over 2}} \int\limits_0^\pi  {\left( {1 + \cos 2x} \right)} dx = \left. {{1 \over 2}\left( {x + {1 \over 2}\sin 2x} \right)} \right|_0^\pi  = {\pi  \over 2}\)
b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là \(\sqrt x  = \root 3 \of x  \Leftrightarrow x = 0;x = 1\)
Trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thì \(\root 3 \of x  \ge \sqrt x \) nên:

\(S = \int\limits_0^1 {\left( {\root 3 \of x  - \sqrt x } \right)} dx = \int\limits_0^1 {\left( {{x^{{1 \over 3}}} - {x^{{1 \over 2}}}} \right)} dx = \left. {\left( {{3 \over 4}{x^{{4 \over 3}}} - {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}} \right)} \right|_0^1 = {3 \over 4} - {2 \over 3} = {1 \over {12}}\)

c)Trong miền \(x \ge 0\) hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr
{x^4} - 2{x^2} = 2{x^2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr
{x^2}\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\)

Ta có: \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^4} - 2{x^2} - 2{x^2}} \right|} dx = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2}\left( {{x^2} - 4} \right)} \right|} dx = \int\limits_0^2 {\left( {4{x^2} - {x^4}} \right)} dx\)

\( = \left. {\left( {4{{{x^3}} \over 3} - {{{x^5}} \over 5}} \right)} \right|_0^2 = {{64} \over {15}}\)