Bài 76 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Bài 76. Giải phương trình:

\(\eqalign{
& a)\,{4^{ - {1 \over x}}} + {6^{ - {1 \over x}}} = {9^{ - {1 \over x}}}; \cr
& c)\,3\sqrt {{{\log }_2}x} - {\log _2}8x + 1 = 0; \cr} \)

\(\eqalign{
& b)\,{4^{\ln x + 1}} - {6^{\ln x}} - {2.3^{\ln {x^2} + 2}} = 0; \cr
& d)\,\log _{{1 \over 2}}^2\left( {4x} \right) + {\log _2}{{{x^2}} \over 8} = 8. \cr} \)                                  

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: \(x \ne 0\)

Chia hai vế phương trình cho \({4^{ - {1 \over x}}}\) ta được: \(1 + {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - {1 \over x}}} = {\left( {{9 \over 4}} \right)^{ - {1 \over x}}}\)

Đặt \(t = {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - {1 \over x}}}\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có phương trình: 

\({t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \hfill \cr
t = {{1 - \sqrt 5 } \over 2}\,\,\left(\text{loại} \right) \hfill \cr} \right.\) 

\(\eqalign{
& t = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \Leftrightarrow {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - {1 \over x}}} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \Leftrightarrow - {1 \over x} = {\log _{{3 \over 2}}}{{1 + \sqrt 5 } \over 2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {1 \over x} = {\log _{{3 \over 2}}}{\left( {{{1 + \sqrt 5 } \over 2}} \right)^{ - 1}} = {\log _{{3 \over 2}}}\left( {{{\sqrt 5 - 1} \over 2}} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x = {\log _{{{\sqrt 5 - 1} \over 2}}}{3 \over 2} \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {{{\log }_{{{\sqrt 5  - 1} \over 2}}}{3 \over 2}} \right\}\)

b) Điều kiện: \(x > 0\)

\({4^{\ln x + 1}} - {6^{\ln x}} - {2.3^{\ln {x^2} + 2}} = 0 \Leftrightarrow {4.4^{\ln x}} - {6^{\ln x}} - {18.9^{\ln x}} = 0\)       

Chia hai vế của phương trình cho \({4^{\ln x}}\), ta được:

                   \(4 - {\left( {{3 \over 2}} \right)^{\ln x}} - 18{\left( {{9 \over 4}} \right)^{\ln x}} = 0\)

Đặt \(t = {\left( {{3 \over 2}} \right)^{\ln x}}\,\,\left( {t > 0} \right)\)

Ta có: 

\(18{t^2} + t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {4 \over 9} \hfill \cr
t = - {1 \over 2}\,\left( \text{loại} \right) \hfill \cr} \right.\)

\(t = {4 \over 9} \Leftrightarrow {\left( {{3 \over 2}} \right)^{\ln x}} = {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - 2}} \Leftrightarrow \ln x =  - 2 \Leftrightarrow x = {e^{ - 2}}\)

Vậy \(S = \left\{ {{e^{ - 2}}} \right\}\)

c) Điều kiện: \({\log _2}x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)

Đặt \(t = \sqrt {{{\log }_2}x} \,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow {\log _2}x = {t^2}\)       

\(\eqalign{
& 3\sqrt {{{\log }_2}x} \, - {\log _2}8x + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3\sqrt {{{\log }_2}x} - 3-{\log _2}x + 1 = 0 \cr} \)

Ta có phương trình: \(3t - 2 - {t^2} = 0\)                               

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sqrt {{{\log }_2}x} = 1 \hfill \cr
\sqrt {{{\log }_2}x} = 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 1 \hfill \cr
{\log _2}x = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = {2^4} = 16 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {2;16} \right\}\)

d) Điều kiện: \(x > 0\). Với điều kiện ta có:                   

\(\eqalign{
& \log _{{1 \over 2}}^2\left( {4x} \right) = {\left( {\log _{{1 \over 2}}4 + \log _{{1 \over 2}}x} \right)^2} = \left( { - 2 - {{\log }_2}x} \right)^2 = {\left( {2 + {{\log }_2}x} \right)^2} \cr
& {\log _2}{{{x^2}} \over 8} = {\log _2}{x^2} - {\log _2}8 = 2{\log _2}x - 3 \cr} \)

Ta có phương trình: \({\left( {{{\log }_2}x + 2} \right)^2} + 2{\log _2}x - 3 = 8\)

Đặt \(t = {\log _2}x\) ta được: \({\left( {t + 2} \right)^2} + 2t - 11 = 0\)     

\(\eqalign{
& {t^2} + 6t - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - 7 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 1 \hfill \cr
{\log _2}x = - 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = {2^{ - 7}} \hfill \cr} \right. \cr} \)              

Vậy \(S = \left\{ {2;{2^{ - 7}}} \right\}\)